Question

已知向量

a

=(cos

3

2

x，sin

3

2

x)，

b

=(cos

x

2

，-sin

x

2

)．且x∈[0，

π

2

]，求：
（1）

a

•

b

；
（2）若f（x）=

a

•

b

-2λ|

a

+

b

|的最小值是-

3

2

，求λ的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算，根據(jù)兩向量的坐標(biāo)求得

a

•

b

，并利用二倍角的余弦化簡整理．
（2）根據(jù)（1）和題設(shè)向量的坐標(biāo)求得函數(shù)f（x）的解析式，利用二倍角的余弦化簡整理，然后利用x的范圍確定cosx的范圍，看λ∈[0，1]，λ＞1和λ＜-1時(shí)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可確定函數(shù)的最小值，求得λ．

解答：解：（1）

a

•

b

=

( a + b )2

=

2+2cos2x

=2cosx（x∈[0，

π

2

]）
（2）由（1）知：f（x）=cos2x-4λcosx=2cos²x-4λcosx-1=2（cosx-λ）²-2λ²-1
∵x∈[0，

π

2

]
∴cosx∈[0，1]，
當(dāng)λ∈[0，1]時(shí)，f（x）_min=-2λ²-1，而f(x)min=-

3

2

，
所以-2λ2-1=-

3

2

，λ=

1

2

，
當(dāng)λ＜0時(shí)，f(x)min=f(

π

2

)=2λ²-2λ²-1=-1，
而f(x)min=-

3

2

，不符合題意．
當(dāng)λ＞1時(shí)，f（x）_min=f（0）=2-4λ-1=-4λ+1，而f(x)min=-

3

2

所以-4λ+1=-

3

2

，λ=

5

8

這與λ＞1矛盾
綜上述λ的值為

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)的最值，平面向量的基本性質(zhì)和基本運(yùn)算．考查了學(xué)生對(duì)三角函數(shù)和向量的知識(shí)的綜合運(yùn)用．