Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，離心率為，且經過點.

（1）求橢圓C的方程；

（2）動直線與橢圓C相交于點M，N，橢圓C的左右頂點為,直線與相交于點，證明點在定直線上，并求出定直線的方程.

Answer 1

【答案】(1) (2)證明見解析，定直線方程為。

【解析】

（1）利用離心率公式，可知a，c的關系，利用，可知a,b的關系，橢圓經過點，代入橢圓方程，又得到一個方程，二個方程聯立，即可求出橢圓方程。

（2）由橢圓的性質可以判斷點G在直線上，先考慮特殊情況，求出點G在上，再考慮一般情況，直線與橢圓方程聯立，利用韋達定理，最后可以驗證點G在上。

(1)離心率為，即，而所以 ①，橢圓經過點.

所以②，由①②聯立方程組，解得，

所以橢圓的方程為

(2)由橢圓的對稱性可知點G一定在上，假設直線過橢圓的上頂點，則M，

，顯然直線 過定點（4，0）所以，橢圓方程與直線方程聯立，求出點N的坐標為

兩方程聯立，解得交點，所以G在定直線上。

當M不是橢圓頂點時，設

橢圓方程與直線聯立消去y，整理得

所以有

當時，把 代入整理得：

所以有顯然成立，

所以G在定直線上。