Question

8．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)D（1，y₀）是拋物線C上的點(diǎn)，且|$\overrightarrow{DF}$|=3．
（1）若直線l經(jīng)過點(diǎn)E（1，2）交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)AE=4EB時(shí)，求直線l的方程；
（2）已知點(diǎn)M（m，0）（m＞0），過點(diǎn)M作直線l₁交拋物線C于P、Q兩點(diǎn)，G是線段PQ的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作與直線l₁垂直的直線l₂交拋物線C于S、T兩點(diǎn)，H是線段ST的中點(diǎn)（如圖所示），求△MGH面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線的定義，求出p，即可求出求拋物線C的方程；設(shè)直線l的方程為x=my+1-2m，代入y²=8x，利用AE=4EB，求出m，即可求直線l的方程；
（2）設(shè)出PQ：x=ky+m，與拋物線方程聯(lián)立，求出G的坐標(biāo)，同理可得H的坐標(biāo)，求出GH的斜率，可得GH的方程，從而可得直線GH過定點(diǎn)，表示出△MGH面積，利用基本不等式，即可求出△MGH面積S的最小值．

解答 解：（1）∵點(diǎn)F是拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，點(diǎn)D（1，y₀）是拋物線C上的點(diǎn)，且|$\overrightarrow{DF}$|=3，
∴1+$\frac{p}{2}$=3，
解得：p=4，∴y²=8x．
設(shè)直線l的方程為x=my+1-2m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x=my+1-2m代入y²=8x，可得y²-8my-8+16m=0，
∴y₁+y₂=8m①，y₁y₂=-8+16m②，
∵AE=4EB，
∴（1-x₁，2-y₁）=4（x₂-1，y₂-2），
∴2-y₁=4（y₂-2）③，
由①②③可得m=$\frac{7}{8}$或$\frac{1}{8}$，
∴直線l的方程為8x-7y+6=0或8x-y-6=0；
（2）顯然PQ，ST的斜率都存在且不為零．
設(shè)PQ：x=ky+m，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
代入y²=8x，得，y²-8ky-8m=0，
∴y_G=4k，x_G=4k²+m．
同理y_H=-$\frac{4}{k}$，x_H=$\frac{4}{{k}^{2}}$+m．
即G（4k²+m，4k），H（$\frac{4}{{k}^{2}}$+m，-$\frac{4}{k}$），
∴k_GH=$\frac{k}{{k}^{2}-1}$．
∴GH：y-4k=（$\frac{k}{{k}^{2}-1}$）（x-4k²-m）
∴直線GH過定點(diǎn)（4+m，0）．
∴S=$\frac{1}{2}$×|4+m-m|×|4k+$\frac{4}{k}$|≥16，
當(dāng)|4k|=|$\frac{4}{k}$|，即k=±1時(shí)，S_min=16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．