Question

函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈={x|x≠0，x∈R}，且滿足對(duì)于任意的x₁，x₂∈D，有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
（1）求f（1）的值；
（2）判斷f（x）的奇偶性并證明你的結(jié)論；
（3）當(dāng)f（4）=1，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)時(shí)，若f（x-1）＜2，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）在題中所給函數(shù)關(guān)系式中取x₂=1，化簡(jiǎn)即可計(jì)算出f（1）的值等于0；
（2）令x₁=x₂=-1，代入題中等式算出f（-1）=0．再令x₁=-1且x₂=x代入，即可算出f（-x）=f（x），根據(jù)函數(shù)奇偶性定義可得f（x）在D上為偶函數(shù)；
（3）令x₁=x₂=4，算出f（16）=2．由函數(shù)為偶函數(shù)，將不等式f（x-1）＜2轉(zhuǎn)化成f（|x-1|）＜2，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式0＜|x-1|＜16，根據(jù)絕對(duì)值不等式的解法法則即可得到滿足條件x的取值范圍．

解答：解：（1）取x₂=1，得f（x₁×1）=f（x₁）+f（1），即f（x₁）=f（x₁）+f（1），解之得f（1）=0；
（2）令x₁=x₂=-1，得f[-1×（-1）]=f（-1）+f（-1）．解之得f（-1）=0
再令x₁=-1，x₂=x，得f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x），
∴f（x）在D上為偶函數(shù)…（8分）
（3）由f（4×4）=f（4）+f（4）且f（4）=1，得f（16）=2…（9分）
∵f（x）在D上為偶函數(shù)，
∴不等式f（x-1）＜2等價(jià)于f（|x-1|）＜2…（10分）
∵f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，由函數(shù)的定義域知|x-1|＞0
∴0＜|x-1|＜16，解之得-15＜x＜17且x≠1，
即原不等式的解集為（-15，1]∪[1，17）…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出抽象函數(shù)，求特殊的函數(shù)值、討論函數(shù)的奇偶性，并依此解關(guān)于x的不等式．著重考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和絕對(duì)值不等式的解法等知識(shí)，屬于中檔題．運(yùn)用“賦值法”進(jìn)行求值和化簡(jiǎn)，是解決抽象函數(shù)問(wèn)題的一般方法．