Question

10．已知等比數(shù)列{a_n}的公比為q=-$\frac{1}{2}$．
（1）若a₄=$\frac{1}{8}$，求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和；
（2）證明：對(duì)任意k∈N^*，a_k+2是a_k與a_k+1的等差中項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）由已知利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出首項(xiàng)，由此能求出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．
（2）由${a}_{1}=-1，q=-\frac{1}{2}$，推導(dǎo)出a_k+a_k+1=2a_k+2．由此能證明對(duì)任意k∈N^*，a_k+2是a_k與a_k+1的等差中項(xiàng)．

解答 解：（1）∵等比數(shù)列{a_n}的公比為q=-$\frac{1}{2}$，a₄=$\frac{1}{8}$，
∴${a}_{4}={a}_{1}×（-\frac{1}{2}）^{3}=\frac{1}{8}$，解得a₁=-1，
∴數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和：
S_n=$\frac{-1×[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]}{1-（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{2}{3}[（-\frac{1}{2}）^{n}-1]$．
證明：（2）∵${a}_{1}=-1，q=-\frac{1}{2}$，
∴${a}_{k}=（-1）×（-\frac{1}{2}）^{k-1}$，${a}_{k+2}=（-1）×（-\frac{1}{2}）^{k+1}$，${a}_{k+1}=（-1）×（-\frac{1}{2}）^{k}$，
∴a_k+a_k+1=（-1）×（-$\frac{1}{2}$）^k-1+（-1）×（-$\frac{1}{2}$）^k=（-1）（-$\frac{1}{2}$）^k-1[1+（-$\frac{1}{2}$）]
=（-1）•（-$\frac{1}{2}$）^k-1$•\frac{1}{2}$=2×[（-1）×（-$\frac{1}{2}$）^k+1]=2a_k+2．
∴對(duì)任意k∈N^*，a_k+2是a_k與a_k+1的等差中項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，考查等差數(shù)列的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．