Question

20．設(shè)L為曲線(xiàn)C：y=$\frac{lnx}{x}$在點(diǎn)（1，0）處的切線(xiàn)．
（1）求L的方程；
（2）證明：曲線(xiàn)C不可能在直線(xiàn)L的上方．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，確定切線(xiàn)的斜率，即可求出切線(xiàn)的方程；
（2）令$g（x）=x-1-\frac{lnx}{x}$，由題意，x＞0時(shí)，$g（x）=x-1-\frac{lnx}{x}≥0$恒成立，即x＞0時(shí)，x²-x-lnx≥0恒成立．

解答 （1）解：∵$y'=\frac{1-lnx}{x^2}$，∴k_切=y'|_x=1=1，故切線(xiàn)L的方程是y=x-1
（2）證明：令$g（x）=x-1-\frac{lnx}{x}$，由題意，x＞0時(shí)，$g（x）=x-1-\frac{lnx}{x}≥0$恒成立
即x＞0時(shí)，x²-x-lnx≥0恒成立
記h（x）=x²-x-lnx，則$h'（x）=2x-1-\frac{1}{x}=\frac{{2{x^2}-x-1}}{x}=\frac{（2x+1）（x-1）}{x}$
由h'（x）=0得，$x=-\frac{1}{2}$（舍去）或x=1
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h'（x）＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，h'（x）＞0∴h（x）_min=h（1）=0
故曲線(xiàn)C不可能在直線(xiàn)L的上方．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．