Question

設，曲線在點處的切線與直線垂直.

(1)求的值；

(2)若對于任意的，恒成立，求的范圍；

(3)求證：

 

Answer 1

【解析】

試題分析：（1）求得函數(shù)f（x）的導函數(shù)，利用曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線2x+y+1=0垂直，即可求a的值；

（2）先將原來的恒成立問題轉化為lnx≤m(x?)，設g(x)＝lnx?m(x? )，即?x∈（1，+∞），g（x）≤0．利用導數(shù)研究g（x）在（0，+∞）上單調性，求出函數(shù)的最大值，即可求得實數(shù)m的取值范圍．

（3）由（2）知，當x＞1時，m＝時，lnx＜ (x?)成立．不妨令x＝，k∈N*，得出

[ln(2k+1)?ln(2k?1)]＜，k∈N*，再分別令k=1，2， ，n．得到n個不等式，最后累加可得．

(1) 2分

由題設，∴

，. 4分

(2),，，即

設，即.

6分

①若，，這與題設矛盾. 7分

②若方程的判別式

當，即時，.在上單調遞減，

，即不等式成立. 8分

當時，方程，設兩根為 ，

當,單調遞增，，與題設矛盾.

綜上所述， . 10分

(3) 由(2)知,當時, 時,成立.

不妨令

所以，

11分

 

12分

累加可得

∴

∴ ---------------14分

考點：1.利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程；2.導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用．