Question

極坐標系的極點為直角坐標系xOy的原點，極軸為z軸的正半軸，兩種坐標系的長度單位相同，己知圓C₁的極坐標方程為p=4（cosθ+sinθ），P是C₁上一動點，點Q在射線OP上且滿足
OQ=OP，點Q的軌跡為C₂．
（I）求曲線C₂的極坐標方程，并化為直角坐標方程；
（ II）已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，0≤φ＜π），l與曲線C₂有且只有一個公共點，求φ的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）設點P、Q的極坐標分別為（ρ₀，θ）、（ρ，θ），
則 ρ= ρ₀= ×4（cosθ+sinθ）=2（cosθ+sinθ），
點Q軌跡C₂的極坐標方程為ρ=2（cosθ+sinθ），
兩邊同乘以ρ，得ρ²=2（ρcosθ+ρsinθ），
C₂的直角坐標方程為x²+y²=2x+2y，
即（x﹣1）²+（y﹣1）²=2．
（Ⅱ）將l的代入曲線C₂的直角坐標方程，
得（tcosφ+1）²+（tsinφ﹣1）²=2，
即t²+2（cosφ﹣sinφ）t=0，
 t₁=0，t₂=sinφ﹣cosφ，
由直線l與曲線C₂有且只有一個公共點，
得sinφ﹣cosφ=0，
因為0≤φ＜π，
所以φ= ．