Question

20．已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx），其中常數(shù)ω＞0．
（1）若y=f（x）在$[-\frac{3π}{4}，\frac{π}{3}]$上單調(diào)遞增，求ω的取值范圍；
（2）令ω=2，將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，區(qū)間[a，b]（a＜b，a，b∈R）滿足：y=g（x）在[a，b]上至少含有20個(gè)零點(diǎn)，在所有滿足上述條件的[a，b]中，求b-a的最小值．

Answer 1

分析 （1）已知函數(shù)y=f（x）在$[-\frac{3π}{4}，\frac{π}{3}]$上單調(diào)遞增，且ω＞0，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可得$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{3π}{4}ω≥-\frac{π}{2}}\\{\frac{π}{3}ω≤\frac{π}{2}}\end{array}}\right.$，即可得解ω的取值范圍．
（2）利用變換法則“左加右減，上加下減”即可得到g（x）的解析式，令g（x）=0，即可解出零點(diǎn)的坐標(biāo)，可得相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離．若b-a最小，則a和b都是零點(diǎn)，此時(shí)在區(qū)間[a，mπ+a]（m∈N^*）恰有2m+1個(gè)零點(diǎn)，所以在區(qū)間[a，9π+a]是恰有19個(gè)零點(diǎn)，從而在區(qū)間（9π+a，b]至少有一個(gè)零點(diǎn)，即可得到a，b滿足的條件．進(jìn)一步即可得出b-a的最小值．

解答 解：（1）因?yàn)閥=f（x）在$[-\frac{3π}{4}，\frac{π}{3}]$上單調(diào)遞增，ω＞0，
根據(jù)題意有，$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{3π}{4}ω≥-\frac{π}{2}}\\{\frac{π}{3}ω≤\frac{π}{2}}\end{array}}\right.$，
所以：$0＜ω≤\frac{2}{3}$．
（2）由題意：f（x）=2sin2x，
將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度，得到函數(shù)解析式為：g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1，
∵g（x）=0，可得：sin（2x+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，
∴x=kπ-$\frac{π}{4}$或x=kπ-$\frac{7π}{12}$，k∈Z，
即g（x）的零點(diǎn)相離間隔依次為$\frac{π}{3}$和$\frac{2π}{3}$，
∴若y=g（x）在[a，b]上至少含有20個(gè)零點(diǎn)，
∵若b-a最小，則a和b都是零點(diǎn)，此時(shí)在區(qū)間[a，π+a]，[a，2π+a]，…，[a，mπ+a]（m∈N^*）分別恰有3，5，…，2m+1個(gè)零點(diǎn)，
所以在區(qū)間[a，9π+a]是恰有19個(gè)零點(diǎn)，從而在區(qū)間（9π+a，b]至少有一個(gè)零點(diǎn)，
∴b-a-9π≥$\frac{π}{3}$，
則b-a的最小值為$\frac{28π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性、函數(shù)的零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，考查了分析問題和解決問題的能力、推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．