Question

11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)點(diǎn)P（4，3）引圓C：x²+（y-m）²=m²+1（0＜m＜4）的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB過(guò)定點(diǎn)（$\frac{5}{2}$，-3）．

Answer 1

分析 求出切線長(zhǎng)，寫出以點(diǎn)P為圓心，切線長(zhǎng)為半徑的圓的方程，
兩圓方程相減，得出直線AB的方程，從而求出直線AB所過(guò)定點(diǎn)．

解答 解：平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)點(diǎn)P（4，3）引圓C：x²+（y-m）²=m²+1（0＜m＜4）的兩條切線，
則切線長(zhǎng)為$\sqrt{{PC}^{2}{-r}^{2}}$=$\sqrt{{{4}^{2}+（3-m）}^{2}-{（m}^{2}+1）}$，
∴以點(diǎn)P為圓心，切線長(zhǎng)為半徑的圓的方程為
（x-4）²+（y-3）²=4²+（3-m）²-（m²+1），
∴直線AB的方程為[x²+（y-m）²]-[（x-4）²+（y-3）²]=（m²+1）-[16+（3-m）²-（m²+1）]，
整理得（4x+3y-1）-m（y+3）=0，
令$\left\{\begin{array}{l}{4x+3y-1=0}\\{y+3=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
∴直線AB過(guò)定點(diǎn)（$\frac{5}{2}$，-3）．
故答案為：（$\frac{5}{2}$，-3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的方程的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了方程組的解法與應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．