Question

有一個(gè)四棱錐，底面是一個(gè)等腰梯形，并且腰長和較短的底長都是1，有一個(gè)底角是60°，又側(cè)棱與底面所成的角都是45°，則這個(gè)棱錐的體積是（　　）

• A．1
• B．

  3

• C．

  3

  4

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：如圖，容易求出底面等腰梯形ABCD的面積．利用側(cè)棱與底面所成的角都是45°，確定出頂點(diǎn)P在底面的射為RT△BAC外心．即為BC中點(diǎn)O，得出高PO，利用錐體體積公式計(jì)算即可．

解答：解：如圖，在等腰梯形ABCD中，AD=AB=DC=1，∠ABC=60°，過A作AH⊥BC于H，
則BH=BA•cos60°=

1

2

．AH=

3

2

．
根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，下底BC=AD+2BH=2．設(shè)O為BC中點(diǎn)，則BO=OC=1，△ABO為正三角形，∠BAO=60°，△AOC為等腰三角形，∠OAC=30°，
∴∠BAC=90°．
因?yàn)閭?cè)棱與底面所成的角都是45°，所以頂點(diǎn)P在底面的射影到ABCD各頂點(diǎn)的距離相等，即為等腰梯形ABCD 的外接圓的圓心，也為RT△BAC外心，即為點(diǎn)O，
∴PO為四棱錐的高．PO=OC=1．
又S梯形ABCD=

1

2

（AD+BC）×AH=

1

2

×3 ×

3

2

=

3 3

4

∴錐體體積V=

1

3

S_梯形ABCD×PO=

3

4

故選C．

點(diǎn)評：本題考查錐體體積的計(jì)算，考查空間想象能力、轉(zhuǎn)化、計(jì)算、推理論證能力．關(guān)鍵是確定出頂點(diǎn)P在底面的射為RT△BAC外心．