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已知向量
a
=（cos
3
2
x，sin
3
2
x），
b
=（cos
x
2
，sin
x
2
），且x∈[0，
π
2
]．
（1）求
a
•
b
及|
a
+
b
|；
（2）若f（x）=
a
•
b
-2λ|
a
+
b
|的最小值為-
3
2
，求實數λ的值．
考點：平面向量的綜合題
專題：綜合題,平面向量及應用
分析：（1）利用向量的數量積公式，結合差角的余弦公式，可求
a
•
b
，利用|
a
+
b
|2=
a
2+
b
2+2
a
•
b
，可求|
a
+
b
|；
（2）f（x）=
a
•
b
-2λ|
a
+
b
|=cosx-4λcos
x
2
=2（cos
x
2
-λ）2-1-2λ2，根據cos
x
2
∈[0，
2
2
]，分類討論，可得結論．
解答： 解：（1）
a
•
b
=cos
3
2
xcos
x
2
+sin
3
2
xsin
x
2
=cosx，
|
a
+
b
|2=
a
2+
b
2+2
a
•
b
=2+2cosx=4cos2
x
2

∵x∈[0，
π
2
]，
∴cos
x
2
≥0，
∴|
a
+
b
|=2cos
x
2
；
（2）∵f（x）=
a
•
b
-2λ|
a
+
b
|=cosx-4λcos
x
2
=2（cos
x
2
-λ）2-1-2λ2，
∵x∈[0，
π
2
]，∴
x
2
∈[0，
π
4
]，
∴cos
x
2
∈[0，
2
2
]，
當λ＜
2
2
時，當且僅當cos
x
2
=
2
2
時，f（x）取最小值1-
4λ
2
-1=-
3
2
，解得λ=
3
2
8
；    
當
2
2
≤λ≤1時，當且僅當cos
x
2
=λ時，f（x）取最小值-1-2λ2=-
3
2
，解得λ=
1
2
（舍）；  
當λ＞1時，當且僅當cos
x
2
=1時，f（x）取最小值2-4λ-1=-
3
2
，解得λ=
5
8
（舍去），
綜上所述，λ=
3
2
8
．
點評：本題考查平面向量的運用，考查差角的余弦公式，考查數量積公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
、
b
滿足
a
⊥
b
，|
a
|=1，|
b
|=2
3
，則|2
a
-
b
|=（　　）
A、2
B、2
2
C、4
D、16

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科目：高中數學 來源： 題型：

極坐標方程θ=
π
3
，θ=
2
3
π（ρ＞0）和ρ=4所表示的曲線圍成的圖形面積是（　�。�
A、
16
3
π
B、
8
3
π
C、
4
3
π
D、
2
3
π

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=x3-x2-3．
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）若函數y=f（x）-m在[-1，2]上有三個零點，求實數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

求經過三點A（-1，1）、B（1，1）、O（0，0）的圓的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知角α終邊上一點P（3，4），求
cos(
π
2
+α)sin(-π-α)
cos(
11π
2
-α)sin(
9π
2
+α)
的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=lnx+
k
x
，k∈R．
（1）若k=1，求函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）若f（x）≥2+
1-e
x
恒成立，求實數k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=x3-ax2+3x；
（1）若函數在x=1處的切線與直線x+2y-1=0垂直，求實數a的值；
（2）若函數在區(qū)間[1，+∞）內為增函數，求實數a的范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
sinx
2+cosx
．
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）若f（x）≤a在[0，2π]有解，求a的取值范圍．

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