Question

設(shè){a_n}是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，并且對(duì)任意的n∈N^*，a_n與2的等差中項(xiàng)等于S_n與2的等比中項(xiàng)．
（1）求證：數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=4n-2；
（2）已知數(shù)列{b_n}是以2為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，其第n項(xiàng)恰好是數(shù)列{a_n}的第r項(xiàng)，求

lim

n→∞

r

3n

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì),等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意得

an+2

2

=

2Sn

，可判數(shù)列{a_n}為首項(xiàng)為2，公差為4的等差數(shù)列，可得通項(xiàng)公式；（2）由題意2×3^n-1=4r-2，解得r=

3n-1+1

2

，代入求極限可得．

解答： 解：（1）由題意得

an+2

2

=

2Sn

，a_n＞0，
平方可得S_n=

1

8

（a_n+2）²，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=

1

8

（a₁+2）²，解得a₁=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

1

8

（a_n+2）²-

1

8

（a_n-1+2）²，
變形整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-4）=0，
由題意知a_n+a_n-1≠0，∴a_n-a_n-1=4
∴數(shù)列{a_n}為首項(xiàng)為2，公差為4的等差數(shù)列，
∴a_n=2+4（n-1）=4n-2
（2）由題意2×3^n-1=4r-2，解得r=

3n-1+1

2

，
∴

lim

n→∞

r

3n

=

lim

n→∞

3n-1+1

2×3n

=

lim

n→∞

(

1

6

-

1

2×3n

)=

1

6

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，涉及極限的運(yùn)算，屬中檔題．