Question

設(shè)是首項(xiàng)為a，公差為d的等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和。記，其中c為實(shí)數(shù)。
（1）若，且成等比數(shù)列，證明：；
（2）若是等差數(shù)列，證明：。

Answer 1

（1）見解析（2）見解析

試題分析：
(1)根據(jù)題意時(shí)，可得，即得到通項(xiàng)，則可根據(jù)成等比數(shù)列，得到關(guān)系，從而將化為關(guān)于的式子.進(jìn)而證明結(jié)論.
(2) 根據(jù)是等差數(shù)列,可設(shè)出,則有,將代入,化簡(jiǎn)該式為樣式,通過令,建立方程組,可解得.則可討論出.
試題解析：
由題意可知.①
（1）由，得.
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824044352495505.png" style="vertical-align:middle;" />成等比數(shù)列，所以，
即，化簡(jiǎn)得.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824044352900443.png" style="vertical-align:middle;" />，所以.因此對(duì)于所有的，①有.
從而對(duì)于所有的，有。
（2）設(shè)數(shù)列的公差為，則，
即，代入的表達(dá)式，整理得，對(duì)于所有的，
有.
令，
則對(duì)于所有的，有.（*）
在（*）式中分別取，得
，
從而有①，②， ③，
由②③得，代入方程①，得，從而.
即，。
若，則由，得，與題設(shè)矛盾，所以。
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824044353212477.png" style="vertical-align:middle;" />，所以。項(xiàng)和,等比中項(xiàng);化繁為簡(jiǎn)的思想,等價(jià)代換的思想.