Question

已知函數(shù)f(x)=

1 3 (x=3) 1 |x-3| (x≠3)

，若關(guān)于x的方程f（x）=m，（m∈R）恰有3個(gè)不同的實(shí)根x₁，x₂，x₃，則數(shù)據(jù)x₁，x₂，x₃的標(biāo)準(zhǔn)差為

6

．

Answer 1

分析：如圖所示．分別作出函數(shù)f(x)=

1 3 (x=3) 1 |x-3| (x≠3)

，和函數(shù)y=m，（m∈R）的圖象，由于關(guān)于x的方程f（x）=m，（m∈R）恰有3個(gè)不同的實(shí)根x₁，x₂，x₃，可知：只有m=

1

3

，兩個(gè)函數(shù)的圖象才有3個(gè)不同的交點(diǎn)，進(jìn)而求出即可．

解答：解：如圖所示．分別作出函數(shù)f(x)=

1 3 (x=3) 1 |x-3| (x≠3)

，和函數(shù)y=m，（m∈R）的圖象，
∵關(guān)于x的方程f（x）=m，（m∈R）恰有3個(gè)不同的實(shí)根x₁，x₂，x₃，
不妨設(shè)x₁＜x₂＜x₃．
∴只有m=

1

3

，兩個(gè)函數(shù)的圖象才有3個(gè)不同的交點(diǎn)，∴x₂=3．
令

1

|x-3|

=

1

3

，解得x=0或6，∴x₁=0，x₃=6．
∴三個(gè)實(shí)根x₁，x₂，x₃，的平均數(shù)為

0+3+6

3

=3．
∴數(shù)據(jù)x₁，x₂，x₃的方差=

1

3

[(0-3)2+(3-3)2+(6-3)2]=6．
∴數(shù)據(jù)x₁，x₂，x₃的標(biāo)準(zhǔn)差為

6

．
故答案為

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)、數(shù)形結(jié)合、圖象變換等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．