Question

6．求函數(shù)y=-x²+2ax（其中a為常數(shù)）在區(qū)間[-1，1]上的最小值．

Answer 1

分析 求得二次函數(shù)的對稱軸方程，對a討論區(qū)間[-1，1]的位置關(guān)系，分當a≥1時，當a≤-1時，當-1＜a≤0時，當0＜a＜1時，討論單調(diào)性，即可得到所求最小值．

解答 解：函數(shù)y=-x²+2ax的圖象為開口向下，對稱軸為x=a，
①當a≥1時，區(qū)間[-1，1]為增區(qū)間，可得f（-1）取得最小值，且為-1-2a；
②當a≤-1時，區(qū)間[-1，1]為減區(qū)間，可得f（1）取得最小值，且為-1+2a；
③當-1＜a≤0時，f（-1）≥f（1），可得[-1，a）遞增，（a，1]遞減，則f（1）=2a-1為最小值；
④當0＜a＜1時，f（-1）＜f（1），可得[-1，a）遞增，（a，1]遞減，則f（-1）=-2a-1為最小值．
綜上可得，當a＞0時，f（x）的最小值為f（-1）=-1-2a；
當a≤0時，f（x）的最小值為f（1）=-1+2a．

點評 本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求法，注意運用對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，運用函數(shù)的單調(diào)性，考查運算能力，屬于中檔題．