Question

8．已知函數(shù)f（x）=lnx
（Ⅰ）若曲線g（x）=f（x）+$\frac{a}{x}$在x=2處的切線與直線x+4y=0平行，求a的值；
（Ⅱ）求證：函數(shù)φ（x）=f（x）-$\frac{2（x-1）}{x+1}$在（0，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)；
（Ⅲ）若斜率為k的直線與y=f（x）的圖象交于A、B兩點，點M（x₀，y₀）為線段AB的中點，求證：kx₀＞1．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)切線和直線平行，建立方程關(guān)系進行求解即可．
（2）求函數(shù)φ（x）的解析式和導數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關(guān)系進行證明即可．
（3）根據(jù)中點坐標公式進行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)證明不等式即可．

解答 解：（1）g（x）=f（x）+$\frac{a}{x}$=lnx+$\frac{a}{x}$，（x＞0），
則g′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$，…（2分）
g′（2）=$\frac{1}{2}-\frac{a}{4}=-\frac{1}{4}$，…（3分）
解得a=3，…（4分）
（2）φ（x）=f（x）-$\frac{2（x-1）}{x+1}$=$lnx-\frac{{2（{x-1}）}}{x+1}$（x＞0），
函數(shù)的導數(shù)φ′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2（x+1）-2（x-1）}{（x+1）^{2}}$=$\frac{（x-1）^{2}}{x（x+1）^{2}}$≥0    …（6分）
則函數(shù)函數(shù)φ（x）=f（x）-$\frac{2（x-1）}{x+1}$在（0，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)；   …（7分）
（3）設點A（m，lnm），B（n，lnn），不妨設m＞n＞0，則$\frac{m}{n}＞1$，
要證kx₀＞1，即$\frac{lnm-lnn}{m-n}$•$\frac{m+n}{2}$＞1   …（8分）
即證證$\frac{m-n}{m+n}$＜$\frac{lnm-lnn}{2}$．只需證$\frac{{\frac{m}{n}-1}}{{\frac{m}{n}+1}}＜\frac{{ln\frac{m}{n}}}{2}$，即證$ln\frac{m}{n}＞\frac{2（\frac{m}{n}-1）}{\frac{m}{n}+1}$，
 只需證$ln\frac{m}{n}-\frac{2（\frac{m}{n}-1）}{\frac{m}{n}+1}＞0$，…（10分），
設h（x）=lnx-$\frac{2（x-1）}{x+1}$（x＞1），
由（2）得，h（x）在（1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，
∵x＞1，∴h（x）＞h（1）=0，
即$ln\frac{m}{n}-\frac{2（\frac{m}{n}-1）}{\frac{m}{n}+1}＞0$，
即$\frac{m-n}{m+n}＜\frac{lnm-lnn}{2}$．
∴所以不等式kx₀＞1．成立．…（14分）

點評 本題主要考查導數(shù)的綜合應用，利用導數(shù)的幾何意義求出切線斜率，利用函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關(guān)系證明單調(diào)性以及構(gòu)造函數(shù)證明不等式是導數(shù)的基本應用，綜合性較強，難度較大．