Question

在矩形ABCD中，|AB|=2，|AD|=2，E、F、G、H分別為矩形四條邊的中點(diǎn)，以HF、GE所在直線分別為x，y軸建立直角坐標(biāo)系(如圖所示)．若R、R′分別在線段0F、CF上，且.

(Ⅰ)求證：直線ER與GR′的交點(diǎn)P在橢圓：+=1上；

(Ⅱ)若M、N為橢圓上的兩點(diǎn)，且直線GM與直線GN的斜率之積為，求證：直線MN過(guò)定點(diǎn).

 

Answer 1

【答案】

詳見(jiàn)解析；直線MN過(guò)定點(diǎn)(0,-3).

【解析】

試題分析：先計(jì)算出E、R、G、R′各點(diǎn)坐標(biāo)，得出直線ER與GR′的方程，解得其交點(diǎn)坐標(biāo) 代入滿足橢圓方程即可; 先討論直線MN的斜率不存在時(shí)的情況，在討論斜率存在時(shí)，用斜截式設(shè)出直線MN方程.與橢圓方程聯(lián)立，用“設(shè)而不求”的方法通過(guò)韋達(dá)定理得出b為定值-3.從而證明出MN過(guò)定點(diǎn)（0，-3）.

試題解析：（Ⅰ）∵，∴，              1分

又   則直線的方程為       ①          2分

又  則直線的方程為          ②          3分

由①②得                                        4分

   

     5分

∴直線與的交點(diǎn)在橢圓上  6分

（Ⅱ）① 當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)

則  ∴ ,不合題意      8分

② 當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè) 

聯(lián)立方程  得

則 ，

   10分

又

 即

將代入上式得       13分

∴直線過(guò)定點(diǎn)                                        14分

考點(diǎn)：1.直線的方程；2.解析幾何；3.韋達(dá)定理.