【題目】求1,2,···,n的排列的個數(shù),使得對正整數(shù)k=1,2,···,n成立。
【答案】見解析
【解析】
先考慮n為偶數(shù)的情形.設(shè)n =2m( m為正整數(shù)).對k=1,2,···,2m,由
及為正整數(shù),知
或 ①
注意到,.
故, ②
, ③
其中,的取法是唯一的.
事實(shí)上,注意到,兩兩不等,不斷地利用式②,知只能取2m.
進(jìn)而,只能取2m -1.以此類推得
.
類似地,由式③知的取法也是唯一的.
因此,當(dāng)n=2m時,符合題意的排列恰有1個.
再考慮n為大于1的奇數(shù)的情形.設(shè)n =2m +1(m為正整數(shù)).類似于偶數(shù)的情形知
④
, ⑤
且.
不妨設(shè).
首先,知的取法唯一.
事實(shí)上,注意到,兩兩不等,不斷地利用式⑤,知只能取2,只能取3.以此類推知.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直三棱柱ABCA1B1C1中(側(cè)棱與底面垂直的棱柱),AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1=,D 是A1B1的中點(diǎn).
(1)求證:C1D⊥平面AA1B1B;
(2)當(dāng)點(diǎn)F 在BB1上的什么位置時,AB1⊥平面C1DF ?并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,四邊形為正方形, 平面, , 是上一點(diǎn),且.
(1)求證: 平面;
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)求在上的最小值;
(2)若關(guān)于的不等式有且只有三個整數(shù)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)習(xí)了余弦定理后,老師布置了一個課外任務(wù),讓同學(xué)們自己制作一些直角三角形、銳角三角形或鈍角三角形的模型,現(xiàn)在李明和王強(qiáng)同學(xué)已經(jīng)有了兩根長度分別為和的鐵絲.
(1)如果他們希望能夠制作一個直角三角形,那么他們需要的第三根鐵絲的長度應(yīng)該是多少?
(2)如果他們希望能夠制作一個鈍角三角形,那么他們需要的第三根鐵絲的長度應(yīng)該在什么范圍?制作一個銳角三角形呢?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是的直徑,點(diǎn)B是上與A,C不重合的動點(diǎn),平面.
(1)當(dāng)點(diǎn)B在什么位置時,平面平面,并證明之;
(2)請判斷,當(dāng)點(diǎn)B在上運(yùn)動時,會不會使得,若存在這樣的點(diǎn)B,請確定點(diǎn)B的位置,若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在三棱錐中, 和是邊長為的等邊三角形, , 分別是的中點(diǎn).
(1)求證: 平面;
(2)求證: 平面;
(3)求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知六棱錐P﹣ABCDEF的底面是正六邊形,PA⊥平面ABC,PA=AB,則下列結(jié)論正確的是_____.(填序號)①PB⊥AD;②平面PAB⊥平面PBC;③直線BC∥平面PAE;④sin∠PDA.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地海軍航空實(shí)驗(yàn)班面向全省遴選學(xué)員,有名初中畢業(yè)生踴躍報(bào)名投身國防,經(jīng)過文化考試、體格測試、政治考核、心理選拔等過程篩選,最終招收名學(xué)員。培養(yǎng)學(xué)校在關(guān)注學(xué)員的文化素養(yǎng)同時注重學(xué)員的身體素質(zhì),要求每月至少參加一次野營拉練活動(下面簡稱“活動”)并記錄成績.月某次活動中海航班學(xué)員成績統(tǒng)計(jì)如圖所示:
(1)根據(jù)圖表,試估算學(xué)員在活動中取得成績的中位數(shù)(精確到);
(2)根據(jù)成績從、兩組學(xué)員中任意選出兩人為一組,若選出成績分差大于,則稱該組為“幫扶組”,試求選出兩人為“幫扶組”的概率.
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