設(shè)函數(shù)f(x)≥0，且對任意實(shí)數(shù)x、y，有f(x+y)=f(x)+f(y)+2，求證：f(nx)=n2f(x)。

 

答案：
解析：

(1)當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1·21=2，右邊=2·1=2，∴等式成立；

(2)設(shè)n=k時(shí)等式成立，即1·3·5……(2k－1)·2k=(2k)(2k－1)(2k－2)……(k+1)，(k∈N)，

則當(dāng)n=k+1時(shí)，

1·3·5……(2k－1)·(2k+1)·2k+1=[1·3·5…(2k－1)·2k]·(2k+1)·2

=[(2k)(2k－1)(2k－2)…(k+2)(k+1)]·(2k+1)·2

=(2k+2)(2k+1)·2k·(2k－1)·(2k－2)…(k+1)

    ∴n=k+1時(shí)等式成立。

  由(1)、(2)可知，對一切n∈N，等式成立。

 


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知R為實(shí)數(shù)集，Q為有理數(shù)集．設(shè)函數(shù)f(x)=
0，(x∈CRQ)
1，(x∈Q)
，則（　�。�
A、函數(shù)y=f（x）的圖象是兩條平行直線
B、
lim
x→∞
f(x)=0或
lim
x→∞
f(x)=1
C、函數(shù)f[f（x）]恒等于0
D、函數(shù)f[f（x）]的導(dǎo)函數(shù)恒等于0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=
0，(x＜0)
x，(0≤x＜1)
-x2+4x-2(1≤x＜3)
4-x，(x≥3)

（Ⅰ）在x=0，x=3處函數(shù)f（x）是否連續(xù)；
（Ⅱ）畫出函數(shù)的圖象；
（Ⅲ）求函數(shù)f（x）的連續(xù)區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（文）已知R為實(shí)數(shù)集，Q為有理數(shù)集．設(shè)函數(shù)f(x)=
0，(x∈CRQ)
1，(x∈Q).
則（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=(0≤x＜1)的反函數(shù)為f-1(x),則…(    )

A.f-1(x)在其定義域上是增函數(shù)且最大值為1

B.f-1(x)在其定義域上是減函數(shù)且最小值為0

C.f-1(x)在其定義域上是減函數(shù)且最大值為1

D.f-1(x)在其定義域上是增函數(shù)且最小值為0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知R為實(shí)數(shù)集，Q為有理數(shù)集．設(shè)函數(shù)f(x)=
0，(x∈CRQ)
1，(x∈Q)
，則（　�。�
A．函數(shù)y=f（x）的圖象是兩條平行直線
B．
lim
x→∞
f(x)=0或
lim
x→∞
f(x)=1
C．函數(shù)f[f（x）]恒等于0
D．函數(shù)f[f（x）]的導(dǎo)函數(shù)恒等于0

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