Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的左準線為x=-

3 2

2

，a=

3

b，過原點O作傾角分別為30°，150°的兩條直線l₁，l₂，點A在直線l₁上，點B在直線l₂上，點P滿足

AP

=λ

PB

（λ＞0），且點P恰在雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1上，
（1）求橢圓方程；
（2）求△OAB面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）由橢圓的準線方程，題設(shè)中a和b的關(guān)系，進而求得a，b，則橢圓的方程可得．
（2）依題意可求得直線l₁和l₂的方程，設(shè)出點A，B的坐標(biāo)，進而表示出三角形OAB的面積，把點P代入雙曲線方程求得x1x2=

3(1+λ)2

2λ

，代入三角形面積表達式，根據(jù)均值不等式求得答案．

解答：解：（1）由

x=- 3 2 2 =- a2 c a= 3 b a2=b2+c2

解得a²=3，b²=1，
所以橢圓方程為

x2

3

+y2=1；
（2）直線l1：y=

3

3

x，直線l2：y=-

3

3

x，設(shè)點A(x1，

3

3

x1)，B(x2，-

3

3

x2)，P為有向

AB

內(nèi)分點，S△OAB=

1

2

|OA||OB|sin60°=

3

4

x 2 1 +( 3 3 x1)2

•

x 2 2 +(- 3 3 x2)2

=

3

3

|x1x2|，
且將P(

x1+λx2

1+λ

，

3 3 x1-λ 3 3 x2

1+λ

)代入雙曲線方程，
可得：

( x1+λx2 1+λ )2

3

-(

3 3 x1-λ 3 3 x2

1+λ

)2=1，化簡得x1x2=

3(1+λ)2

2λ

，
所以S△OAB=

3

3

|

3(1+λ)2

2λ

|=

3

2

(|λ|+

1

|λ|

+2)≥2

3

，
當(dāng)λ=1時取等，所以(S△OAB)min=2

3

.

點評：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準方程和直線與橢圓的關(guān)系，及向量的基本知識．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．