Question

11．已知a∈R，函數(shù)f（x）═log₂（$\frac{1}{x}$+a）．
（1）若f（1）＜2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）-log₂[（a-4）x+2a-5]，討論函數(shù)g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）若f（1）＜2，則log₂（1+a）＜2，即0＜1+a＜4，解得實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）令函數(shù)g（x）=f（x）-log₂[（a-4）x+2a-5]=0，即$\frac{1}{x}$+a=（a-4）x+2a-5，即（a-4）x²+（a-5）x-1=0，分類討論方程根的個(gè)數(shù)，可得不同情況下函數(shù)g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答 解：（1）若f（1）＜2，
則log₂（1+a）＜2，
即0＜1+a＜4，
解得：a∈（-1，3）；
（2）令函數(shù)g（x）=f（x）-log₂[（a-4）x+2a-5]=0，
則f（x）=log₂[（a-4）x+2a-5]，
即$\frac{1}{x}$+a=（a-4）x+2a-5，
即（a-4）x²+（a-5）x-1=0，
①當(dāng)a=4時(shí)，方程可化為：-x-1=0，解得：x=-1，
此時(shí)$\frac{1}{x}$+a=（a-4）x+2a-5=3，滿足條件，
即a=4時(shí)函數(shù)g（x）有一個(gè)零點(diǎn)；
②當(dāng)（a-5）²+4（a-4）=0時(shí)，a=3，方程可化為：-x²-2x-1=0，
此時(shí)$\frac{1}{x}$+a=（a-4）x+2a-5=2，滿足條件，
即a=3時(shí)函數(shù)g（x）有一個(gè)零點(diǎn)；
③當(dāng)（a-5）²+4（a-4）＞0時(shí)，a≠3，
方程有兩個(gè)根，x=-1，或x=$\frac{4}{a-4}$，
當(dāng)x=-1時(shí)，$\frac{1}{x}$+a=（a-4）x+2a-5=a-1，當(dāng)a＞1時(shí)，滿足條件，
當(dāng)x=$\frac{4}{a-4}$時(shí)，$\frac{1}{x}$+a=（a-4）x+2a-5=$\frac{5}{4}a-1$，當(dāng)a$＞\frac{4}{5}$時(shí)，滿足條件，
a≤$\frac{4}{5}$時(shí)，函數(shù)g（x）無(wú)零點(diǎn)；
$\frac{4}{5}$＜a≤1時(shí)，函數(shù)g（x）有一個(gè)零點(diǎn)；
a＞1且a≠3且a≠4時(shí)函數(shù)g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論思想，難度中檔．