Question

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，試求的取值范圍；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn)，且，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求出，再求恒成立，以及恒成立時(shí)，的取值范圍；

（2）由已知，在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，由（1）的結(jié)論對(duì)分類討論，根據(jù)單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，即可求出結(jié)論.

（1）由題意得，則，

當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增時(shí)，

在區(qū)間上恒成立.

∴（其中），解得.

當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減時(shí)，

在區(qū)間上恒成立，

∴（其中），解得.

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

（2）.

由，知在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，

設(shè)該零點(diǎn)為，則在區(qū)間內(nèi)不單調(diào).

∴在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，

同理在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn).

∴在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn).

由（1）易知，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

故在區(qū)間內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意.

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

故在區(qū)間內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，

∴.令，得，

∴函數(shù)在區(qū)間上單凋遞減，

在區(qū)間上單調(diào)遞增.

記的兩個(gè)零點(diǎn)為，

∴，必有.

由，得.

∴

又∵，

∴.

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.