Question

如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，AF=AB=BC=FE=

1

3

AD．
（Ⅰ）求異面直線BF與DE所成角的余弦值；
（Ⅱ）在線段CE上是否存在點(diǎn)M，使得直線AM與平面CDE所成角的正弦值為

6

3

？若存在，試確定點(diǎn)M的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：建立如圖的空間坐標(biāo)系，給出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，
（Ⅰ）求出異面直線BF與DE的方向向量，利用數(shù)量積公式的變形形式求兩向量的夾角即可．
（Ⅱ）假設(shè)在線段CE上存在點(diǎn)M，使得直線AM與平面CDE所成角的正弦值為

6

3

，求出直線的方向向量與平面的法向量，利用公式建立方程，若能求出符合條件的參數(shù)的值則說(shuō)明存在，否則說(shuō)明不存在．

解答：解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)AB=1
則B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，3，0），
F（0，0，1），E（0，1，1）
（Ⅰ）

BF

=(-1，0，1)，

DE

=(0，-2，1)cos＜

BF

，

DE

＞=

BF • DE

| BF || DE |

=

1

2 • 5

=

10

10

∴異面直線BF與DE所成角的余弦值為

10

10

．
（Ⅱ）設(shè)平面CDE的一個(gè)法向量為

n

=(x，y，z)

CD

=(-1，2，0)，

DE

=(0，-2，1)
∵

CD

•

n

=0

DE

•

n

=0
∴

-x+2y=0 -2y+z=0

令y=1，得x=z=2，∴

n

=(2，1，2)
設(shè)存在點(diǎn)M（p，q，r）滿足條件，由

CM

=λ

CE

得
p=1-λ，q=1，r=λ即M（1-λ，1，λ）
∴

AM

=（1-λ，1，λ）
∵直線AM與平面CDE所成角的正弦值為

6

3

∴|cos＜

AM

，

n

＞|=

6

3

，

| AM • n |

| AM || n |

=

6

3

，得λ

1

2

故當(dāng)點(diǎn)M為CE中點(diǎn)時(shí)，直線AM與平面CDE所成角的正弦值為

6

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查用空間向量求異面直線所成的角及直線與平面所成的角，及坐標(biāo)運(yùn)算等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想和方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，求線面角時(shí)由于直線的方向向量與平面的法向量的夾角的余弦值與線面角的正弦值相等，解題時(shí)易由于記憶不準(zhǔn)把向量的夾角當(dāng)成線面角導(dǎo)致出錯(cuò)，對(duì)規(guī)律性的內(nèi)容要理解到位，掌握精準(zhǔn)．