Question

【題目】若是素數，證明存在0，1，2，…，的一個排列（，，…，），使得，，，…，.被除的余數各不相同.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

是素數，由孫子定理，對每個，存在，使得

有解.

設，并用表示被除的余數，

則.

（1）首先證明，且時，.

這是因為，

，

.

（2）其次證明，.

否則，若，則，，

時，由于，有.

從而，有

. （2）

從（2），至少有一個，滿足，即. （3）

如果（3）取等號，則由（2）可知，對于，不但模長皆為2，而且輻角都應相等.又利用（2）可知，則，這里，.再利用（1）可以看到次多項式當時均為0，從而這多項式恒等于0.那么，

. （4）

由于，從而可以知道，，…，是一的次方根.

綜上所述，.

最大值中的最小值達到時，在復平面上，復數，，…，所對應的點是一個單位圓的內接正邊形的個頂點.