Question

若函數(shù)f（x）=

x-1

+m在區(qū)間[a，b]上的值域為[

a

2

，

b

2

]（b＞a≥1），則實數(shù)m的取值范圍為

[0，

1

2

]

．

Answer 1

分析：由題意可得，故有

a-1 +m= a 2 b-1 +m= b 2

，由此可得

b-1

+

a-1

=2．再由b＞a≥1可得

a=1 b=5

，故本題即求函數(shù)m=

x

2

-

x-1

在區(qū)間[1，5]上的值域．令t=

x-1

≥0，則t∈[0，2]，m=

t2+1

2

-t=

1

2

（t-1）²，再利用二次函數(shù)的性質求得實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：由于函數(shù)f（x）=

x-1

+m在區(qū)間[a，b]上有意義且是增函數(shù)，值域為[

a

2

，

b

2

]，
故有

a-1 +m= a 2 b-1 +m= b 2

，∴

b-1

-

a-1

=

b-a

2

=

( b-1 )2-( a-1 )2

2

，∴

b-1

+

a-1

=2．
再由b＞a≥1可得 

a=1 b=5

，區(qū)間[a，b]即[1，5]．
故本題即求函數(shù)m=

x

2

-

x-1

在區(qū)間[1，5]上的值域．
令t=

x-1

≥0，則t∈[0，2]，x=t²+1，m=

t2+1

2

-t=

1

2

（t-1）²．
故當t=1時，m取得最小值為0，當t=0或2時，函數(shù)m取得最大值為

1

2

，
故實數(shù)m的取值范圍為[0，

1

2

]，
故答案為[0，

1

2

]．

點評：本題主要考查求函數(shù)的定義域和值域，二次函數(shù)的性質應用，求得

a=1 b=3

，是解題的關鍵，屬于中檔題．