在數(shù)列中,,且對任意.,成等差數(shù)列,其公差為。
(Ⅰ)若=,證明,成等比數(shù)列(
(Ⅱ)若對任意,,,成等比數(shù)列,其公比為。 證明:對任意,,有
(Ⅰ)證明:由題設(shè),可得。
所以
=
=2k(k+1)
=0,得
于是。
所以成等比數(shù)列。
(Ⅱ)證法一:(i)證明:由成等差數(shù)列,及成等比數(shù)列,得
當(dāng)≠1時,可知≠1,k
從而
所以是等差數(shù)列,公差為1。
(Ⅱ)證明:,可得,從而=1.由(Ⅰ)有

所以
因此,
以下分兩種情況進行討論:
(1)  當(dāng)n為偶數(shù)時,設(shè)n=2m()
若m=1,則.
若m≥2,則
+

所以
(2)當(dāng)n為奇數(shù)時,設(shè)n=2m+1(


所以從而···
綜合(1)(2)可知,對任意,,有
證法二:(i)證明:由題設(shè),可得
所以

可知�?傻�
所以是等差數(shù)列,公差為1。
(ii)證明:因為所以。
所以,從而。于是,由(i)可知所以是公差為1的等差數(shù)列。由等差數(shù)列的通項公式可得= ,故
從而。
所以,由,可得
。
于是,由(i)可知
以下同證法一。
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(本小題滿分13分)對于數(shù)列,規(guī)定數(shù)列為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列,其中;一般地,規(guī)定階差分?jǐn)?shù)列,其中,且
(1)已知數(shù)列的通項公式,試證明是等差數(shù)列;
(2)若數(shù)列的首項,且滿足,求數(shù)列的通項公式;
(3)在(2)的條件下,判斷是否存在最小值,若存在求出其最小值,若不存在說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(本題滿分14分)已知數(shù)列是首項為1公差為正的等差數(shù)列,數(shù)列是首項為1的等比數(shù)列,設(shè),且數(shù)列的前三項依次為1,4,12,
(1)求數(shù)列、的通項公式;
(2)若等差數(shù)列的前n項和為Sn,求數(shù)列的前項的和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

在數(shù)列中,,且對任意.,,成等差數(shù)列,其公差為。
(Ⅰ)若=,證明,,成等比數(shù)列(
(Ⅱ)若對任意,,成等比數(shù)列,其公比為。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知定義在上的函數(shù)和數(shù)列滿足下列條件:
,,當(dāng)時,
其中、均為非零常數(shù).
(1)若數(shù)列是等差數(shù)列,求的值;
(2)令,若,求數(shù)列的通項公式;
(3)試研究數(shù)列為等比數(shù)列的條件,并證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知等比數(shù)列的前項和為,且點在函數(shù)的圖象上.
(1)求的值;
(2)若數(shù)列滿足:,且.求數(shù)列的通項公式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

設(shè)數(shù)列{}的前n項和=,則的值為
A.15B. 16C. 49D.64

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

設(shè)等差數(shù)列{an}前n項和為Sn . 若a1= -11,a4+a6=" -6" ,則當(dāng)Sn取最小值時,n等于
A.6B.7C.8D.9

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(本小題滿分12分)
設(shè)數(shù)列中的每一項都不為0。
證明:為等差數(shù)列的充分必要條件是:對任何,都有
。

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