Question

3．已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)P（0，1），Q（2，0）．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求出橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)
（2）當(dāng)直線l：y=x+m與該橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a，b然后寫出標(biāo)準(zhǔn)方程，求出長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)．
（2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用判別式求解m的范圍即可．

解答 解：（1）橢圓經(jīng)過點(diǎn)P（0，1），Q（2，0）．所求橢圓是標(biāo)準(zhǔn)方程，
所以a=2，b=1，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$     
橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)4．短軸長(zhǎng) 2．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，消去y，得5x²+8mx+4（m²-1）=0，
直線l：y=x+m與該橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，
則△=64m²-80（m²-1）≥0，得-$\sqrt{5}$≤m≤$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓的方程的求法，考查計(jì)算能力．