Question

2．已知$\frac{π}{2}$＜β＜α＜$\frac{3π}{4}$，cos（α-β）=$\frac{12}{13}$，sin（α+β）=-$\frac{3}{5}$，則sinα+cosα的值$\frac{3\sqrt{65}}{65}$．

Answer 1

分析 由α與β的范圍確定出α+β與α-β的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cos（α-β）與sin（α+β）的值，原式中的角度變形后，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，將各自的值代入計算即可求出sin2α的值，利用倍角公式，三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求值得解．

解答 解：∵$\frac{π}{2}$＜β＜α＜$\frac{3π}{4}$，cos（α-β）=$\frac{12}{13}$，sin（α+β）=-$\frac{3}{5}$，
∴0＜α-β＜$\frac{π}{2}$，π＜α+β＜$\frac{3π}{2}$，
∴sin（α-β）=$\frac{5}{13}$，
cos（α+β）=-$\frac{4}{5}$，
則sin2α=sin[（α-β）+（α+β）]=sin（α-β）cos（α+β）+cos（α-β）sin（α+β）=$\frac{5}{13}$×（-$\frac{4}{5}$）+$\frac{12}{13}$×（-$\frac{3}{5}$）=-$\frac{56}{65}$．
∴sinα+cosα=$\sqrt{（sinα+cosα）^{2}}$=$\sqrt{1+sin2α}$=$\sqrt{1-\frac{56}{65}}$=$\frac{3\sqrt{65}}{65}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{65}}{65}$．

點評 此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握公式及基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．