中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上的橢圓的離心率為，且經(jīng)過點。若分別過橢圓的左右焦點、的動直線、相交于P點，與橢圓分別交于A、B與C、D不同四點，直線OA、OB、OC、OD的斜率、、、滿足．

（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在定點M、N，使得為定值．若存在，求出M、N點坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

（1）；
（2）存在點M、N其坐標(biāo)分別為(0 , -1)、(0, 1)，使得為定值．

解析試題分析：（1）設(shè)橢圓方程為，則由題意知，則
，則橢圓方程為，代入點的坐標(biāo)可得
，所求橢圓方程為
（2）當(dāng)直線或斜率不存在時，P點坐標(biāo)為(-1, 0)或(1, 0)．
當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)斜率分別為，，設(shè)，，
由得　，∴ ，．
，同理．∵， ∴，即．又，　∴．
設(shè)，則，即，
由當(dāng)直線或斜率不存在時，P點坐標(biāo)為(-1, 0)或(1, 0)也滿足，∴點橢圓上，則存在點M、N其坐標(biāo)分別為(0 , -1)、(0, 1)，使得為定值．
考點：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系。
點評：中檔題，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)，應(yīng)用“待定系數(shù)法”求得了橢圓方程。研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，往往應(yīng)用韋達定理，通過“整體代換”，簡化解題過程，實現(xiàn)解題目的。（II）中對兩直線斜率存在情況進行討論，易于忽視。

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點（），直線:，點在直線上移動，是線段與軸的交點, 過、分別作直線、，使， .

(1)求動點的軌跡的方程；
（2）在直線上任取一點做曲線的兩條切線，設(shè)切點為、，求證：直線恒過一定點；
(3)對（2）求證：當(dāng)直線的斜率存在時，直線的斜率的倒數(shù)成等差數(shù)列.

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在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），它與曲線交于A、B兩點。
（1）求的長；
（2）在以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點P的極坐標(biāo)為，求點P到線段AB中點M的距離。

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已知橢圓C：的短軸長等于焦距，橢圓C上的點到右焦點的最短距離為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)過點且斜率為(＞0)的直線與C交于兩點，是點關(guān)于軸的對稱點，證明：三點共線．

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平面內(nèi)動點到定點的距離比它到軸的距離大。
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）過的直線與相交于兩點，若，求弦的長。

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已知橢圓C：（a＞b＞0）,則稱以原點為圓心，r=的圓為橢圓C的“知己圓”。
（Ⅰ）若橢圓過點（0,1），離心率e=；求橢圓C方程及其“知己圓”的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，若過點（0，m）且斜率為1的直線截其“知己圓”的弦長為2，求m的值；
（Ⅲ）討論橢圓C及其“知己圓”的位置關(guān)系.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知直線l：y＝kx＋2(k為常數(shù))過橢圓＋＝1(a＞b＞0)的上頂點B和左焦點F，直線l被圓x2＋y2＝4截得的弦長為d.
(1)若d＝2，求k的值；
(2)若d≥，求橢圓離心率e的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知兩定點,,動點滿足，由點向軸作垂線段，垂足為，點滿足，點的軌跡為.
（1）求曲線的方程;
（2）過點作直線與曲線交于,兩點，點滿足（為原點），求四邊形面積的最大值，并求此時的直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓：，左、右兩個焦點分別為、，上頂點，為正三角形且周長為6.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；
（2）為坐標(biāo)原點，是直線上的一個動點，求的最小值，并求出此時點的坐標(biāo)．

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