Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，點E在棱AB上移動．
（1）證明：D₁E⊥A₁D；
（2）當(dāng)E為AB的中點時，求點E到面ACD₁的距離；
（3）AE等于何值時，二面角D₁-EC-D的大小為

π

4

．

Answer 1

分析：解法（一）：
（1）通過觀察，根據(jù)三垂線定理易得：不管點E在AB的任何位置，D₁E⊥A₁D總是成立的．
（2）在立體幾何中，求點到平面的距離是一個常見的題型，同時求直線到平面的距離、平行平面間的距離及多面體的體積也常轉(zhuǎn)化為求點到平面的距離．本題可采用“等積法”：即利用三棱錐的換底法，通過體積計算得到點到平面的距離．本法具有設(shè)高不作高的特殊功效，減少了推理，但計算相對較為復(fù)雜．根據(jù)V三棱錐D1-ACE=V三棱錐E-D1AC既可以求得點E到面ACD₁的距離．
（3）二面角的度量關(guān)鍵在于找出它的平面角，構(gòu)造平面角常用的方法就是三垂線法．過D作DH⊥CE于H，連D₁H、DE，則D₁H⊥CE，
則∠DHD₁為二面角D₁-EC-D的平面角．
解法（二）：
以D為坐標(biāo)原點，直線DA，DC，DD₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AE=x，則A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）．這種解法的好處就是：（1）解題過程中較少用到空間幾何中判定線線、面面、線面相對位置的有關(guān)定理，因為這些可以用向量方法來解決．（2）即使立體感稍差一些的學(xué)生也可以順利解出，因為只需畫個草圖以建立坐標(biāo)系和觀察有關(guān)點的位置即可．
（1）因為

DA1

•

D1E

=（1，0，1）•（1，x，-1）=0，所以

DA1

⊥

D1E

．
（2）因為E為AB的中點，則E（1，1，0），從而

D1E

=(1，1，-1)，

AC

=(-1，2，0)，

AD1

=(-1，0，1)，設(shè)平面ACD₁的法向量為

n

=(a，b，c)，從而

n

=(2，1，2)，所以點E到平面AD₁C的距離為h=

| D1E • n |

| n |

=

2+1-2

3

=

1

3

．
（3）設(shè)平面D₁EC的法向量

n

=(a，b，c)，可求得

n

=(2-x，1，2)．，因為二面角D₁-EC-D的大小為

π

4

，所以根據(jù)余弦定理可得AE=2-

3

時，二面角D₁-EC-D的大小為

π

4

．

解答：解法（一）：
（1）證明：∵AE⊥平面AA₁DD₁，A₁D⊥AD₁，∴A₁D⊥D₁E
（2）設(shè)點E到面ACD₁的距離為h，在△ACD₁中，AC=CD₁=

5

，AD₁=

2

，
故S△AD1C=

1

2

•

2

•

5- 1 2

=

3

2

，而S△ACE=

1

2

•AE•BC=

1

2

．∴VD1-AEC=

1

3

S△AEC•DD1=

1

3

S△AD1C•h，
∴

1

2

×1=

3

2

×h，∴h=

1

3

．
（3）過D作DH⊥CE于H，連D₁H、DE，則D₁H⊥CE，∴∠DHD₁為二面角D₁-EC-D的平面角．
設(shè)AE=x，則BE=2-x在Rt△D₁DH中，∵∠DHD1=

π

4

，∴DH=1．
∵在Rt△ADE中，DE=

1+x2

，
∴在Rt△DHE中，EH=x，在Rt△DHC中CH=

3

，在Rt△CBE中CE=

x2-4x+5

．
∴x+

3

=

x2-4x+5

?x=2-

3

．
∴AE=2-

3

時，二面角D₁-EC-D的大小為

π

4

．
解法（二）：
以D為坐標(biāo)原點，直線DA，DC，DD₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AE=x，則A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）
（1）因為

DA1

•

D1E

=（1，0，1）•（1，x，-1）=0，所以

DA1

⊥

D1E

．
（2）因為E為AB的中點，則E（1，1，0），從而

D1E

=(1，1，-1)，

AC

=(-1，2，0)，

AD1

=(-1，0，1)，設(shè)平面ACD₁的法向量為

n

=(a，b，c)，
則

n • AC =0 n • AD1 =0

也即

-a+2b=0 -a+c=0

，得

a=2b a=c

，從而

n

=(2，1，2)，所以點E到平面AD₁C的距離為h=

| D1E • n |

| n |

=

2+1-2

3

=

1

3

．
（3）設(shè)平面D₁EC的法向量

n

=(a，b，c)，
∴

CE

=(1，x-2，0)，

D1C

=(0，2，-1)，

D D   1

=(0，0，1)，
由

n • D1C =0 n • CE =0

?

2b-c=0 a+b(x-2)=0.

令b=1，∴c=2，a=2-x，
∴

n

=(2-x，1，2)．
依題意cos

π

4

=

| n • DD1 |

| n |•| DD1 |

=

2

2

?

2

(x-2)2+5

=

2

2

．
∴x1=2+

3

（不合，舍去），x2=2-

3

．
∴AE=2-

3

時，二面角D₁-EC-D的大小為

π

4

．

點評：本小題主要考查棱柱，二面角、點到平面的距離和線面關(guān)系等基本知識，同時考查空間想象能力和推理、運算能力．