Question

【題目】已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別是，點(diǎn)，若的內(nèi)切圓的半徑與外接圓的半徑的比是.

（1）求橢圓C的方程；

（2）點(diǎn)M是橢圓C的左頂點(diǎn)，P、Q是橢圓上異于左、右頂點(diǎn)的兩點(diǎn)，設(shè)直線MP、MQ的斜率分別為、，若，試問直線PQ是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）是，.

【解析】

（1）設(shè)內(nèi)切圓和外接圓的半徑分別是，則.利用三角形的面積公式求得與的關(guān)系式，利用正弦定理求得與的關(guān)系式，由此求得兩者直線的關(guān)系式，進(jìn)而求得的值，以及橢圓的方程.

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)出的坐標(biāo)，利用列方程，結(jié)合在橢圓上，求得的坐標(biāo)，由此求得直線的方程.當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的方程，代入橢圓方程，化簡(jiǎn)后寫出韋達(dá)定理和判別式，利用列方程，求得的關(guān)系式，由此判斷出直線所過定點(diǎn)坐標(biāo).

（1）由已知是橢圓的頂點(diǎn)，又分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，則有，且.設(shè)的內(nèi)切圓半徑與外接圓的半徑分別是和，則.由，得，得.

設(shè)，在中，，在中，由正弦定理得，即，所以.所以，即，即，化簡(jiǎn)得，解得（舍去），所以.所以所求橢圓的方程是.

（2）由已知，設(shè)，

若直線PQ的斜率不存在，不妨設(shè)，

由得，即，

又，

即，得，解得舍或，

或，此時(shí)直線PQ的方程為，

若直線PQ的斜率存在，設(shè)直線PQ的方程為，

由，得，

，

由，得，

又，即，

即，即，

整理得，

，

整理得，解得，或，

當(dāng)時(shí)，直線PQ：，即過定點(diǎn)，不符合題意，

當(dāng)時(shí)，直線PQ：，即過定點(diǎn)．

綜上，直線PQ過定點(diǎn)．