等差數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，求證：
1
a1
+
a2
+
1
a2
+
a3
+…+
1
an-1
+
an
=
n-1
an
+
a1
．
考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)
專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析：由題意可得等差數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，設(shè)其公差為d，當(dāng)公差d≠0時(shí)可得
1
an-1
+
an
=
1
d
（
an
-
an-1
），代入計(jì)算可得等式，當(dāng)公差d=0時(shí)，驗(yàn)證可得．
解答： 解：由題意可得等差數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，設(shè)其公差為d，
當(dāng)公差d≠0時(shí)，
1
an-1
+
an
=
an
-
an-1
(
an-1
+
an
)(
an
-
an-1
)

=
an
-
an-1
an-an-1
=
1
d
（
an
-
an-1
）
∴
1
a1
+
a2
+
1
a2
+
a3
+…+
1
an-1
+
an

=
1
d
（
a2
-
a1
+
a3
-
a2
+…+
an
-
an-1
）
=
1
d
（
an
-
a1
）=
1
d
（
an
-
a1
）
=
1
d
•
(
an
-
a1
)(
an
+
a1
)
an
+
a1

=
1
d
•
an-a1
an
+
a1
=
1
d
•
(n-1)d
an
+
a1
=
n-1
an
+
a1

當(dāng)公差d=0時(shí)，
an
=
a1
，易驗(yàn)證上式也成立
點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式，涉及計(jì)分類討論和分母有理化，屬中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知函數(shù)f（x）=
3
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π
3
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（1）求函數(shù)y=f（x）的增區(qū)間
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π
6
，
7π
12
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．

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若{an}為等比數(shù)列，公比為q，則數(shù)列{
1
an
}，{an2}，{
an
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．

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