Question

已知數(shù)列{x_n}滿足x₁=

1

2

，且x_n+1=

xn

2-xn

，（n∈N⁺）
（1）用數(shù)學(xué)歸納證明：0＜x_n＜1
（2）設(shè)a_n=

1

xn

，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟進(jìn)行證明；
（2）設(shè)a_n=

1

xn

，可得{a_n-1}是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答： （1）證明：①當(dāng)n=1時，x₁=

1

2

∈（0，1），
②假設(shè)當(dāng)n=k時，結(jié)論成立，即x_k∈（0，1），
則當(dāng)n=k+1時，x_k+1=f（x_k）=

xk

2-xk

∵x_k∈（0，1），
∴

xk

2-xk

∈（0，1），
即n=k+1時結(jié)論成立
綜上①②可知0＜x_n＜1；…（6分）
（2）解：由x_n+1=

xn

2-xn

可得：

1

xn+1

=

2

xn

-1
∵a_n=

1

xn

，
∴a_n+1=2a_n-1，
∴a_n+1-1=2（a_n-1）…（8分）
又a₁-1=1
∴{a_n-1}是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n-1=2^n-1，
即a_n=2^n-1+1…（12分）

點(diǎn)評：本題考查根據(jù)遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法，考查數(shù)學(xué)歸納法，證明n=k+1時，是解題的難點(diǎn)．