已知m為正整數(shù),用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)x>-1時(shí),(1+x)m≥1+mx.
【答案】分析:本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)學(xué)歸納法,要證明當(dāng)x>-1時(shí),(1+x)m≥1+mx,我們要先證明m=1時(shí),(1+x)m≥1+mx成立,再假設(shè)m=k時(shí),(1+x)m≥1+mx成立,進(jìn)而證明出m=k+1時(shí),(1+x)m≥1+mx也成立,即可得到對(duì)于任意正整數(shù)m:當(dāng)x>-1時(shí),(1+x)m≥1+mx.
解答:解:視,(1+x)m≥1+mx為關(guān)于m的不等式,x為參數(shù),以下用數(shù)學(xué)歸納法證明:
(。┊(dāng)m=1時(shí),原不等式成立;
當(dāng)m=2時(shí),左邊=1+2x+x2,右邊=1+2x,
因?yàn)閤2≥0,所以左邊≥右邊,原不等式成立;
(ⅱ)假設(shè)當(dāng)m=k時(shí),不等式成立,即(1+x)k≥1+kx,
則當(dāng)m=k+1時(shí),
∵x>-1,
∴1+X>0,于是在不等式(1+x)k≥1+kx兩邊同乘以1+x得
(1+x)k•(1+x)≥(1+kx)•(1+x)=1+(k+1)x+kx2≥1+(k+1)x,
所以(1+x)k+1≥1+(k+1)x.即當(dāng)m=k+1時(shí),不等式也成立.
綜合(。áⅲ┲瑢(duì)一切正整數(shù)m,不等式都成立.
點(diǎn)評(píng):數(shù)學(xué)歸納法常常用來(lái)證明一個(gè)與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì),其步驟為:設(shè)P(n)是關(guān)于自然數(shù)n的命題,若1)(奠基) P(n)在n=1時(shí)成立;2)(歸納) 在P(k)(k為任意自然數(shù))成立的假設(shè)下可以推出P(k+1)成立,則P(n)對(duì)一切自然數(shù)n都成立.