Question

11．在區(qū)間[0，1]上隨機(jī)抽取兩個(gè)數(shù)x，y，則事件“xy≥$\frac{1}{2}$”發(fā)生的概率為$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$ln2．

Answer 1

分析 設(shè)P（x，y），則P點(diǎn)落在邊長(zhǎng)為1的正方形OABC內(nèi)部（含邊界）．則滿足條件xy$≥\frac{1}{2}$的點(diǎn)P落在曲線與正方形OABC所圍成的區(qū)域內(nèi)．使用定積分求出封閉區(qū)域的面積，則“xy≥$\frac{1}{2}$”發(fā)生的概率為$\frac{{S}_{陰影}}{{S}_{正方形ABCD}}$．

解答 解設(shè)P（x，y），∵0≤x，y≤1，
∴P點(diǎn)落在正方形OABC內(nèi)部（含邊界）．
作曲線y=$\frac{1}{2x}$，交正方形OABC于D，E兩點(diǎn)，
則滿足條件xy$≥\frac{1}{2}$的點(diǎn)P落在區(qū)域BDE內(nèi)（含邊界）．
由于S_陰影=$\frac{1}{2}×1$-${∫}_{\frac{1}{2}}^{1}\frac{1}{2x}dx$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}ln2$．
∴“xy≥$\frac{1}{2}$”發(fā)生的概率為$\frac{{S}_{陰影}}{{S}_{正方形ABCD}}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$ln2．
故答案為：$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}ln2$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了幾何概型的概率計(jì)算，作出符合條件的區(qū)域是解決幾何概型的方法，屬于中檔題．