方程
x|x|
16
+
y|y|
9
=-1的曲線即為函數(shù)y=f（x）的圖象，對于函數(shù)y=f（x），有如下結論：
①f（x）在R上單調遞減；
②函數(shù)F（x）=4f（x）+3x不存在零點；
③函數(shù)y=f（x）的值域是R；
④若函數(shù)g（x）和f（x）的圖象關于原點對稱，則函數(shù)y=g（x）的圖象就是方程
y|y|
16
+
x|x|
9
=1確定的曲線．
其中所有正確的命題序號是（　　）
分析：根據(jù)x、y的正負去絕對值，將方程
x|x|
16
+
y|y|
9
=-1化簡，得到相應函數(shù)在各個區(qū)間上的表達式，由此作出函數(shù)的圖象，再由圖象可知函數(shù)在R上單調遞減，且函數(shù)的值域為R，所以①③成立；根據(jù)F（x）=4f（x）+3x=0得f（x）=-
3
4
x，再由函數(shù)圖象對應的曲線以y=±
3
4
x為漸近線，得到f（x）=-
3
4
x沒有實數(shù)根，因此②正確．根據(jù)曲線關于原點對稱的曲線方程的公式，可得若函數(shù)g（x）和f（x）的圖象關于原點對稱，則y=g（x）的圖象對應的方程是
x|x|
16
+
y|y|
9
=1，說明④錯誤．由此可得本題的答案．
解答：解：對于①，當x≥0且y≥0時，方程為
x2
16
+
y2
9
=-1，此時方程不成立．
當x＜0且y＜0時，方程為
x2
16
+
y2
9
=1，此時y=-3
-
x2
16
+1
．
當x≥0且y＜0時，方程為
x2
16
-
y2
9
=-1，此時y=-3
x2
16
+1
．
當x＜0且y≥0時，方程為-
x2
16
+
y2
9
=-1，即y=3
x2
16
-1
．
因此作出函數(shù)的圖象，如圖所示
由圖象可知函數(shù)在R上單調遞減，所以①成立．
②由F（x）=4f（x）+3x=0得f（x）=-
3
4
x．
因為雙曲線
x2
16
-
y2
9
=-1和-
x2
16
+
y2
9
=-1的漸近線為y=±
3
4
x，
所以函數(shù)y=f（x）與直線y=-
3
4
x無公共點，因此F（x）=4f（x）+3x不存在零點，可得②正確．
對于③，根據(jù)①所作的圖象可知函數(shù)的值域為R，所以③正確．
對于④，若函數(shù)y=g（x）和y=f（x）的圖象關于原點對稱，
則用-x、-y分別代替x、y，可得-y=f（-x）就是y=g（x）表達式，可得g（x）=-f（-x）
∴函數(shù)y=g（x）的圖象是方程
x|x|
16
+
y|y|
9
=1確定的曲線，
而不是方程
y|y|
16
+
x|x|
9
=1確定的曲線，所以④錯誤
故選：D
點評：本題給出含有絕對值的二次曲線，要我們判斷并于曲線性質的幾個命題的真假．著重考查了含有絕對值的函數(shù)式的化簡、函數(shù)的圖象與性質、直線與圓錐曲線位置關系等知識，屬于中檔題．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知A，B，C是直線l上不同的三點，O是l外一點，向量
OA
，
OB
，
OC
 滿足：
OA
-(
3
2
x2+1)
OB
-[ln(2+3x)-y]
OC
=
0
，記y=f（x）．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式：
（2）若關于x的方程f（x）=2x+b在（0，1]上恰有兩個不同的實根，求實數(shù)b的取值范圍；
（3）若對任意x∈[
1
6
，
1
3
]，不等式|a-lnx|-ln[f′（x）-3x]＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

從集合{x|-5≤x≤16，x∈Z}中任選2個數(shù)，作為方程
x2
m
+
y2
n
 =1中的m和n，
求：（1）可以組成多少個雙曲線？
（2）可以組成多少個焦點在x軸上的橢圓？
（3）可以組成多少個在區(qū)域B={（x，y）||x|≤2，且|y|≤3}內(nèi)的橢圓？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•茂名二模）方程
x|x|
16
+
y|y|
9
=-1的曲線即為函數(shù)y=f（x）的圖象，對于函數(shù)y=f（x），有如下結論：
①f（x）在R上單調遞減；
②函數(shù)F（x）=4f（x）+3x不存在零點；
③函數(shù)y=f（x）的值域是R；
④f（x）的圖象不經(jīng)過第一象限，
其中正確的個數(shù)是（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

方程
x|x|
16
+
y|y|
9
=-1的曲線為函數(shù)y=f（x）的圖象，對于函數(shù)y=f（x），下面結論中正確的個數(shù)是
（　　）
①f（x）在R上單調遞減；
②函數(shù)F（x）=4f（x）+3x不存在零點；
③函數(shù)y=f（x）的值域是R；
④若函數(shù)g（x）與f（x）的圖象關于原點對稱，則y=g（x）的圖象是方程
y|y|
16
+
x|x|
9
=1所確定的曲線．
A、1個B、2個C、3個D、4個

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