Question

己知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是邊長為2的正三角形，側(cè)面A₁ACC₁為菱形，∠A₁AC=60°，平面A₁ACC₁⊥平面ABC，M、N是AB，CC₁的中點(diǎn)．
（I）求證：CM∥平面A₁BN．
（Ⅱ）求證：A₁C⊥BN．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取A₁B的中點(diǎn)P，連接PM，PN．根據(jù)M，P分別是AB，A₁B的中點(diǎn)，推斷u PM∥AA₁，PM=

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AA1，根據(jù) AA₁∥CC₁，推斷出 PM∥CN且PM=CN可知四邊形PMCN為平行四邊形，推斷出PN∥CM．最后利用線面平行的判定定理推斷出CM∥平面A₁BN． 
（Ⅱ）取AC的中點(diǎn)O，連結(jié)BO，ON．根據(jù)已知BO⊥AC，進(jìn)而根據(jù)平面A₁ACC₁⊥平面ABC，推斷出BO⊥平面A₁ACC₁．由于 A₁C?平面A₁ACC₁利用線面垂直性質(zhì)知BO⊥A₁C，利用四邊形A₁ACC₁為菱形，推斷 A₁C⊥AC₁，又因?yàn)?nbsp;ON∥AC₁，推斷出A₁C⊥ON進(jìn)而推斷出A₁C⊥平面BON，又BN?平面BON，最后根據(jù)線面垂直的判定定理推斷出A₁C⊥BN．

解答： 證明：（Ⅰ）取A₁B的中點(diǎn)P，連接PM，PN．因?yàn)?nbsp;M，P分別是AB，A₁B的中點(diǎn)，
∴PM∥AA₁，PM=

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2

AA1，

又∵AA₁∥CC₁，
∴PM∥CN且PM=CN
∴四邊形PMCN為平行四邊形，
∴PN∥CM．
又∵CM?平面A₁BN，PN?平面A₁BN，
∴CM∥平面A₁BN． 
（Ⅱ）取AC的中點(diǎn)O，連結(jié)BO，ON．
由題意知 BO⊥AC，
又∵平面A₁ACC₁⊥平面ABC，
∴BO⊥平面A₁ACC₁．         
∵A₁C?平面A₁ACC₁
∴所以BO⊥A₁C
∴四邊形A₁ACC₁為菱形，
∴A₁C⊥AC₁
又∵ON∥AC₁，所以 A₁C⊥ON
∴A₁C⊥平面BON，又 BN?平面BON
∴A₁C⊥BN．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面平行的判定定理，線面垂直的性質(zhì)及判定．要求學(xué)生對基礎(chǔ)定理和性質(zhì)熟練掌握．