Question

1．已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=x-1．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）圖象在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）證明：f（x）≤g（x）；
（Ⅲ）若不等式f（x）≤ag（x）對于任意的x∈（1，+∞）均成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）利用導數(shù)的幾何意義可得切線的斜率，即可得出切線的方程．
（Ⅱ）設h（x）=f（x）-g（x）=lnx-x+1，利用導數(shù)研究其單調性極值與最值即可得出．
（Ⅲ）?x∈（1，+∞），f（x）＞0，g（x）＞0．對a分類討論，利用導數(shù)研究其單調性極值與最值即可得出．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{1}{x}$，∴f′（1）=1，又f（1）=0，
得切線l：y-0=1×（x-1），即y=x-1．
證明：（Ⅱ）設h（x）=f（x）-g（x）=lnx-x+1，則h′（x）=$\frac{1}{x}$-1，令h′（x）=0，得x=1．

x	（0，1）	1	（1，+∞）
h′（x）	+	0極大值	-
h（x）	單調遞增	0	單調遞減

∴h（x）≤h（x）_max=h（1）=0，即f（x）≤g（x）．
解：（Ⅲ）?x∈（1，+∞），f（x）＞0，g（x）＞0．
當a≥1時，f（x）≤g（x）≤ag（x）；
當a≤0時，f（x）＞0，g（x）≤0不滿足不等式；
當0＜a＜1時，設u（x）=f（x）-ag（x）=lnx-a（x-1），u′（x）=$\frac{1}{x}$-a，令u′（x）=0，得x=$\frac{1}{a}$．

x	$（0，\frac{1}{a}）$	$\frac{1}{a}$	$（\frac{1}{a}，+∞）$
u′（x）	+	0	-
u（x）	單調遞增	0	單調遞減

∴u（x）_max=u$（\frac{1}{a}）$＞u（1）=0．
綜上所述實數(shù)a的取值范圍為[1，+∞）．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究其單調性極值與最值、導數(shù)的幾何意義，考查了分類討論、推理能力與計算能力，屬于難題．