Question

已知圓C:,直線L：.
（1）求證：對(duì)直線L與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)；
（2）設(shè)L與圓C交于不同兩點(diǎn)A、B，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程；
（3）若定點(diǎn)P（1,1）分弦AB所得向量滿足，求此時(shí)直線L的方程.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）直線方程為或.

試題分析：（1）由直線L的方程可知，直線L恒過(guò)定點(diǎn)（1，1），而這個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線L與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；（2）設(shè)M（x,y）.當(dāng)M不與P重合時(shí)，連接CM、CP，由于P是AB的中點(diǎn)，所以CMMP，用勾股定理便可得所求方程（或用向量的數(shù)量積等于0也可）.（3）設(shè)A（），B（）由可得.將直線與圓的方程聯(lián)立得.由韋達(dá)定理得，再將此與聯(lián)立得，代入方程得，從而得直線的方程.
試題解析：（1）直線恒過(guò)定點(diǎn)（1，1），且這個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)，故直線L與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn).
（2）當(dāng)M不與P重合時(shí)，連接CM、CP，則CMMP，設(shè)M（x,y）
則
化簡(jiǎn)得：
當(dāng)M與P重合時(shí)，滿足上式.
（3）設(shè)A（），B（）由得.
將直線與圓的方程聯(lián)立得：       ..（*）

可得，代入（*）得
直線方程為或.