Question

對(duì)于函數(shù)f(x)=

1

x

(x＞0)定義域中任意x₁，x₂（x₁≠x₂）有如下結(jié)論：
①f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）；  ②f（x₁x₂）=f（x₁）f（x₂）；  
③

f(x1)-f( x2)

x1-x2

＞0；           ④f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f( x2)

2

．
上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號(hào)是

②④

．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)的解析式，易得①不正確而②正確；通過舉出反例，得到③不成立；利用作差法比較大小，得到f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f( x2)

2

，故④正確．由此可得正確答案．

解答：解：對(duì)于①，f（x₁+x₂）=

1

x1+x2

，f（x₁）+f（x₂）=

1

x1

+

1

x2

，顯然f（x₁+x₂）≠f（x₁）+f（x₂），故①不正確；
對(duì)于②，f（x₁x₂）=

1

x1x2

，f（x₁）f（x₂）=

1

x1

•

1

x2

=

1

x1x2

，有f（x₁x₂）=f（x₁）f（x₂）成立，故②正確；
對(duì)于③，取x₁=1，x₂=2，則f（x₁）=1，f（x₂）=

1

2

，可得

f(x1)-f( x2)

x1-x2

=

1- 1 2

1-2

=-

1

2

＜0，故③不正確；
對(duì)于④，f（

x1+x2

2

）=

2

x1+x2

，

f(x1)+f( x2)

2

=

1

2

(

1

x1

+

1

x2

)=

x1+x2

2x1x2

∴f（

x1+x2

2

）-

f(x1)+f( x2)

2

=-

(x1-x2)2

x1x2(x1+x2)

∵x₁＞0且x₂＞0且x₁≠x₂
∴f（

x1+x2

2

）-

f(x1)+f( x2)

2

＜0，可得f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f( x2)

2

，故④正確．
故答案為：②④

點(diǎn)評(píng)：本題以一個(gè)具體函數(shù)為例，叫我們驗(yàn)證幾個(gè)等式和不等式是否成立，著重考查了函數(shù)的解析式和簡單性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．