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5.已知橢圓Γ:x2a2+y22=1(a>b>0))的右焦點(diǎn)為(22,0),且過(guò)點(diǎn)c>1.
(Ⅰ)求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l:y=x+m(m∈R)與橢圓Γ交于不同兩點(diǎn)A、B,且|AB|=32.若點(diǎn)P(x0,2)滿足|PA|=|PB|,求x0的值.

分析 (Ⅰ)根據(jù)a,c的值,求出b,從而求出橢圓的方程即可;
(Ⅱ)聯(lián)立直線和橢圓的方程,根據(jù)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷m的范圍,設(shè)AB的中點(diǎn)為E(x0,y0),求出x0=x1+x22=-3m4,y0=x0+m=m4,當(dāng)m=2時(shí),求出直線方程是y=-x-1,求出對(duì)應(yīng)的x的值,當(dāng)m=-2時(shí),求出直線方程是y=-x+1,求出對(duì)應(yīng)的x的值即可.

解答 解:(Ⅰ)由已知得a=23,又c=22
∴b2=a2-c2=4
∴橢圓的方程為x212+y24=1;
(Ⅱ)由{y=x+mx212+y24=1.得4x2+6mx+3m2-12=0  ①
∵直線l與橢圓交于不同兩點(diǎn)A、B,∴△=36m2-16(3m2-12)>0,
得m2<16.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1,x2是方程①的兩根,
則x1+x2=-3m2,x1x2=3m2124
|AB|=1+k2|x1x2|=2×94m23m212=2×34m2+12
又由|AB|=32,得34m2+12=9,解之y=-x+1
據(jù)題意知,點(diǎn)P為線段AB的中垂線與直線y=2的交點(diǎn).
設(shè)AB的中點(diǎn)為E(x0,y0),則x0=x1+x22=-3m4,y0=x0+m=m4,
?當(dāng)m=2時(shí),E3212
∴此時(shí),線段AB的中垂線方程為y-12=-(x+32),即y=-x-1,
令y=2,得x0=-3,
?當(dāng)m=-2時(shí),E(32,-12),
∴此時(shí),線段m=1的中垂線方程為y+12=-(x-32),即y=-x+1,
012,得x0=-1.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求橢圓的方程問(wèn)題,考查直線和橢圓的位置關(guān)系以及韋達(dá)定理的應(yīng)用、中點(diǎn)坐標(biāo)公式,是一道綜合題.

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