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1.已知點(diǎn)P是橢圓C上的任一點(diǎn),P到直線l1:x=-2的距離為d1,到點(diǎn)F(-1,0)的距離為d2,且3vocqzw2pth3mgf1=22
(1)求橢圓C的方程;
(2)如圖,直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B(A,B都在x軸上方),且
∠OFA+∠OFB=180°.
(i)當(dāng)A為橢圓C與y軸正半軸的交點(diǎn)時(shí),求直線l的方程;
(ii)是否存在一個(gè)定點(diǎn),無(wú)論∠OFA如何變化,直線l總過(guò)該定點(diǎn)?若存在,求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析 (1)設(shè)P(x,y),則d1=|x+2|,d2=x+12+y2,由此利用eptxbpz2blujnm81=22,能求出橢圓C的方程.
(2)(i)由(1)知A(0,1),又F(-1,0),從而kAF=1,kBF=-1,直線BF的方程為:y=-(x+1)=-x-1,代入x22+y2=1,得3x2+4x=0,由此能求出直線AB的方程.
(ii)kAF+kBF=0,設(shè)直線AB的方程為y=kx+b,代入x22+y2=1,得k2+12x2+2kx+21=0,由此利用韋達(dá)定理、橢圓性質(zhì),結(jié)合已知條件能推導(dǎo)出直線AB總經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M(-2,0).

解答 解:(1)設(shè)P(x,y),∵點(diǎn)P是橢圓C上的任一點(diǎn),
P到直線l1:x=-2的距離為d1,到點(diǎn)F(-1,0)的距離為d2,且eponlfu2x8tc98l1=22,
∴d1=|x+2|,d2=x+12+y2,
9qeic9w2llajdxq1=x+12+y2|x+2|=22,
化簡(jiǎn),得x22+y2=1.
∴橢圓C的方程為x22+y2=1.
(2)(i)由(1)知A(0,1),又F(-1,0),∴kAF=1001=1,
∵∠OFA+∠OFB=180°,∴kBF=-1,
∴直線BF的方程為:y=-(x+1)=-x-1,
代入x22+y2=1,得3x2+4x=0,
解得x1=0,x2=43,
代入y=-x-1,得{x=0y=1(舍),或{x=43y=13,
∴B(-43,13),kAB=113043=12
∴直線AB的方程為y=12x+1
(ii)∵∠OFA+∠OFB=180°,∴kAF+kBF=0,
設(shè)直線AB的方程為y=kx+b,代入x22+y2=1,
k2+12x2+2kx+21=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=2kbk2+12x1x2=21k2+12,
∴kAF+kBF=y1x1+1+y2x2+1=kx1+bx1+1+kx2+bx2+1
=kx1+bx2+1+kx2+bx1+1x1+1x2+1=0,
∴(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=2kx1x2+(k+b)(x1+x2)+2b
=2k×21k2+12-(k+b)×2kbk2+12+2b=0,
∴b-2k=0,
∴直線AB的方程為y=k(x+2),
∴直線AB總經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M(-2,0).

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程、直線方程的求法,考查直線是否總過(guò)定點(diǎn)的判斷與求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用.

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