Question

20．已知函數(shù)f（x）=x²+2x
（1）若x∈[-2，a]，a＞-2時(shí)，求f（x）的值域；
（2）若存在實(shí)數(shù)t，當(dāng)x∈[1，m]，m＞1時(shí)，f（x+t）≤3x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（提示：當(dāng)x∈[a，b]時(shí)f（x）≤k恒成立，則f（x）_max≤k；存在x∈[a，b]使得f（x）≤k，則f（x）_min≤k）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可，分類討論，即可求f（x）的值域；
（2）將不等式恒成立進(jìn)行轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵f（x）=x²+2x的對(duì)稱軸為x=-1，
當(dāng)-2＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）在[-2，a]上單調(diào)遞減，f（x）_min=f（a）=a²+2a，f（x）_max=f（2）=8，此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)閇a²+a，8]；
當(dāng)-1≤a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在[-2，-1]上單調(diào)遞減，在[-1，a]上單調(diào)遞增，f（x）_min=f（-1）=-1，f（x）_max=f（2）=8，此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)閇-1，8]；
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在[-2，-1]上單調(diào)遞減，在[-1，a]上單調(diào)遞增，f（x）_min=f（-1）=-1，f（x）_max=f（a）=a²+2a，此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)閇-1，a²+a]；
（2）由f（x+t）≤3x恒成立得：x²+（2t-1）x+t²+2t≤0恒成立，
令u（x）=x²+（2t-1）x+t²+2t，x∈[1，m]，
∵拋物線的開口向上，
∴u（x）的最大值為max{u（1），u（m）}，
由u（x）≤0恒成立知：$\left\{\begin{array}{l}{u（1）≤0}\\{u（m）≤0}\end{array}\right.$，
化簡(jiǎn)得：$\left\{\begin{array}{l}{-4≤t≤0}\\{{t}^{2}+2（1+m）t+{m}^{2}-m≤0}\end{array}\right.$，
令g（t）=t²+2（1+m）t+m²-m，
則原題可轉(zhuǎn)化為：存在t∈[-4，0]，使得g（t）≤0，
即：當(dāng)t∈[-4，0]，g（t）_min≤0，
∵m＞1，g（t）的對(duì)稱軸：t=-1-m＜-2，
①若-1-m＜-4，即m＞3時(shí)，g（t）_min=g（-4）=16-8（1+m）+m²-m≤0，
解得3＜m≤8，
②當(dāng)-4≤-1-m≤-2，
即：1＜m≤3時(shí)，g（t）_min=g（-1-m）=-1-3m≤0，
解得1＜m≤3，
綜上：m的取值范圍為：（1，8]

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及二次函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生的分析能力，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．