某養(yǎng)雞場(chǎng)流行一種傳染病,雞的感染率為10%.現(xiàn)對(duì)50只雞進(jìn)行抽血化驗(yàn),以期查出所有病雞.設(shè)計(jì)了如下方案:按n(1≤n≤50,且n是50的約數(shù))只雞一組平均分組,并把同組的n只雞抽到的血混合在一起化驗(yàn),若發(fā)現(xiàn)有問(wèn)題,即對(duì)該組的n只雞逐只化驗(yàn).記X為某一組中病雞的只數(shù).
(1)若n=5,求隨機(jī)變量X的概率分布和數(shù)學(xué)期望;
(2)為了減少化驗(yàn)次數(shù)的期望值,試確定n的大。
(參考數(shù)據(jù):取0.93=0.73,0.94=0.66,0.95=0.59,0.910=0.35,0.925=0.07.)
分析:(1)當(dāng)n=5時(shí),X~B(5,0.1),可得P(X=r)=
C
r
5
•0.1r•0.95-r
,r=0,1,2,3,4,5,分別可得概率值,進(jìn)而可得分布列,可得期望;
(2)由題意得n的所有可能取值為1,2,5,10,25,50,可得50只雞的化驗(yàn)總次數(shù)的期望f(n)=
50
n
(n+1-n•0.9n)
,分別代入可得f的值,比較可得最小值,進(jìn)而可得對(duì)應(yīng)的n值.
解答:解:(1)當(dāng)n=5時(shí),X~B(5,0.1),
P(X=r)=
C
r
5
•0.1r•0.95-r
,r=0,1,2,3,4,5,…(2分)
故X的概率分布表為:
X 0 1 2 3 4 5
P 0.59 0.33 0.073 0.0081 0.00045 0.00001
所以E(X)=5×0.1=0.5;                                   …(4分)
(2)由題意得n的所有可能取值為1,2,5,10,25,50,
當(dāng)n∈{1}時(shí),需化驗(yàn)50次;                                …(5分)
當(dāng)n∈{2,5,10,25,50}時(shí),X~B(n,0.1),…(6分)
對(duì)于某一組的n只雞,化驗(yàn)次數(shù)Y的所有可能值為1,n+1,
且P(Y=1)=0.9n,P(Y=n+1)=1-0.9n,
所以E(Y)=1×0.9n+(n+1)×(1-0.9n)=n+1-n•0.9n,…(7分)
故50只雞的化驗(yàn)總次數(shù)的期望f(n)=
50
n
(n+1-n•0.9n)
=50(1+
1
n
-0.9n)
,…(8分)
算得f(2)=34.5,f(5)=30.5,f(10)=37.5,f(25)=48.5,f(50)=51,
所以按5只雞一組化驗(yàn)可使化驗(yàn)次數(shù)的期望值最小.            …(10分)
點(diǎn)評(píng):本題考查離散型隨機(jī)變量的期望與方差,涉及等可能事件的概率,屬中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013屆海南省高二下學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

下表是某地區(qū)的一種傳染病與飲用水的調(diào)查表:

 

得病

不得病

合計(jì)

干凈水

52

466

518

不干凈水

94

218

312

合計(jì)

146

684

830

利用列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn),判斷能否以99.9%的把握認(rèn)為“該地區(qū)的傳染病與飲用不干凈的水有關(guān)”

參考數(shù)據(jù):

 

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

某養(yǎng)雞場(chǎng)流行一種傳染病,雞的感染率為10%.現(xiàn)對(duì)50只雞進(jìn)行抽血化驗(yàn),以期查出所有病雞.設(shè)計(jì)了如下方案:按n(1≤n≤50,且n是50的約數(shù))只雞一組平均分組,并把同組的n只雞抽到的血混合在一起化驗(yàn),若發(fā)現(xiàn)有問(wèn)題,即對(duì)該組的n只雞逐只化驗(yàn).記X為某一組中病雞的只數(shù).
(1)若n=5,求隨機(jī)變量X的概率分布和數(shù)學(xué)期望;
(2)為了減少化驗(yàn)次數(shù)的期望值,試確定n的大。
(參考數(shù)據(jù):取0.93=0.73,0.94=0.66,0.95=0.59,0.910=0.35,0.925=0.07.)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

某養(yǎng)雞場(chǎng)流行一種傳染病,雞的感染率為10%.現(xiàn)對(duì)50只雞進(jìn)行抽血化驗(yàn),以期查出所有病雞.設(shè)計(jì)了如下方案:按n(1≤n≤50,且n是50的約數(shù))只雞一組平均分組,并把同組的n只雞抽到的血混合在一起化驗(yàn),若發(fā)現(xiàn)有問(wèn)題,即對(duì)該組的n只雞逐只化驗(yàn).記X為某一組中病雞的只數(shù).
(1)若n=5,求隨機(jī)變量X的概率分布和數(shù)學(xué)期望;
(2)為了減少化驗(yàn)次數(shù)的期望值,試確定n的大小.
(參考數(shù)據(jù):取0.93=0.73,0.94=0.66,0.95=0.59,0.910=0.35,0.925=0.07.)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012-2013學(xué)年江蘇省蘇州市張家港外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二(上)周日數(shù)學(xué)試卷10(理科)(解析版) 題型:解答題

某養(yǎng)雞場(chǎng)流行一種傳染病,雞的感染率為10%.現(xiàn)對(duì)50只雞進(jìn)行抽血化驗(yàn),以期查出所有病雞.設(shè)計(jì)了如下方案:按n(1≤n≤50,且n是50的約數(shù))只雞一組平均分組,并把同組的n只雞抽到的血混合在一起化驗(yàn),若發(fā)現(xiàn)有問(wèn)題,即對(duì)該組的n只雞逐只化驗(yàn).記X為某一組中病雞的只數(shù).
(1)若n=5,求隨機(jī)變量X的概率分布和數(shù)學(xué)期望;
(2)為了減少化驗(yàn)次數(shù)的期望值,試確定n的大。
(參考數(shù)據(jù):取0.93=0.73,0.94=0.66,0.95=0.59,0.910=0.35,0.925=0.07.)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案