Question

5．已知f（x）=|x-2|-|x-a|．
（Ⅰ）當(dāng)a=-5時，解不等式f（x）＜1；
（Ⅱ）若f（x）≤-|${x-\frac{1}{4}}$|的解集包含[1，2]，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 通過a=-5，不等式f（x）＜1化為|x-2|-|x+5|＜1，通過分類討論求解不等式的解集即可．
（Ⅱ）通過x∈[1，2]時，化簡不等式，利用解集的包含關(guān)系，列出與a有關(guān)的不等式求解即可．

解答 解：（Ⅰ） 當(dāng)a=-5時，不等式f（x）＜1化為|x-2|-|x+5|＜1，
當(dāng)x≤-5時，-（x-2）+（x+5）＜1，無解；
當(dāng)-5＜x≤2時，-（x-2）-（x+5）＜1，解得x＞-2，又-5＜x≤2，
所以-2＜x≤2；
當(dāng)x＞2時，（x-2）-（x+5）≤1，恒成立，又x＞2，所以x＞2．
因此，當(dāng)a=-5時，解不等式f（x）＜1的解集為{x|x＞-2}．
（Ⅱ） $f（x）≤-|{x-\frac{1}{4}}|$$?|{x-2}|-|{x-a}|+|{x-\frac{1}{4}}|≤0$．
當(dāng)x∈[1，2]時，$-（x-2）-|{x-a}|+x-\frac{1}{4}≤0$，即$|{x-a}|≥\frac{7}{4}$，
所以$x≥a+\frac{7}{4}$或$x≤a-\frac{7}{4}$，
因為$f（x）≤-|{x-\frac{1}{4}}|$的解集包含[1，2]，
于是$a+\frac{7}{4}≤1$或$a-\frac{7}{4}≥2$，故$a≤-\frac{3}{4}$或$a≥\frac{15}{4}$．
所以，實數(shù)a的取值范圍為$（-∞，-\frac{3}{4}]∪[\frac{15}{4}，+∞）$．

點評 本題考查絕對值不等式的解法，考查分類討論以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計算能力．