Question

對(duì)于函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镈，如果存在區(qū)間[m，n]⊆D同時(shí)滿足下列條件：
①f（x）在[m，n]是單調(diào)的；
②當(dāng)定義域?yàn)閇m，n]時(shí)，f（x）的值域也是[m，n]，則稱區(qū)間[m，n]是該函數(shù)的“H區(qū)間”．若函數(shù)f（x）=

alnx-x (x＞0) -x -a (x≤0)

存在“H區(qū)間”，則正數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象,根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷,進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：通過(guò)x大于0，小于等于0，利用好的導(dǎo)數(shù)盆函數(shù)的單調(diào)性，利用分段函數(shù)結(jié)合函數(shù)的圖象函數(shù)的最值求出a的范圍即可．

解答： 解：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=alnx-x，
f′（x）=

a

x

-1=

a-x

x

，f′（x）≥0，
得

a-x

x

≥0得0＜x≤a，此時(shí)函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
當(dāng)x=n時(shí)，取得最大值，
當(dāng)x=m時(shí)，取最小值，
即

alnn-n=n alnm-m=m

，
即方程alnx-x=x有兩個(gè)解，
即方程a=

2x

lnx

有兩個(gè)解，做出y=

2x

lnx

的圖象，
由圖象以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可知，
當(dāng)x＞1時(shí)，y=

2x

lnx

在x=e處取得最小值2e，
在x=a時(shí)，y=

2a

lna

故方程a=

2x

lnx

有兩個(gè)解

．

a≤

2a

lna

，即a≤e²，正數(shù)a的取值范圍是（2e，e²]．
當(dāng)x＞a時(shí)，函數(shù)f（x）為單調(diào)減函數(shù)，
則當(dāng)x=m時(shí)，取得最大值，
當(dāng)x=n時(shí)，取得最小值，
即

alnn-n=m alnm-m=n

，
兩式相減可得，alnm-alnn=0，即m=n，不符合；
當(dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，
則當(dāng)x=m時(shí)取最大值，
當(dāng)x=n時(shí)，取得最小值，
即

-m -a=n -n -a=m

，兩式相減，
可以得到

-m

+

-n

=1，回代到方程組的第一個(gè)式子得到1-

-n

-a=n，
整理得到1-

-n

-n=a，
由圖象可知，方程由兩個(gè)解，
則a∈(

3

4

，1]，
綜上正數(shù)a的取值范圍是（

3

4

，1]∪（2e，e²]
故答案為：（

3

4

，1]∪（2e，e²]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用以及函數(shù)的最值考查數(shù)形結(jié)合，綜合性較強(qiáng)．