分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的最值即可;
(2)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a>(x+2)[1-ln(1+x)],令h(x)=(x+2)[1-ln(1+x)],根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可;
(3)當(dāng)a=2,x>0時(shí),得:ln(1+x)>xx+2(∗),令x=1k(k∈N∗),得:lnk+1k>12k+1,依次令k=1,2,3,…n,累加即可.
解答 解:(1)f(x)的定義域?yàn)?({-1,+∞}),f'(x)=\frac{1}{1+x}-1=-\frac{x}{1+x}.f'(x)>0?-1<x<0;f'(x)<0?x>0$,
所以函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(-1,0),減區(qū)間為(0,+∞),
f(x)max=f(0)=0,無(wú)最小值.
(2)?x>0,f(x)+g(x)>1??x>0,ln(1+x)−x+x2+2x+ax+2>1
??x>0,ln(1+x)+ax+2>1??x>0,a>(x+2)[1−ln(1+x)],
令h(x)=(x+2)[1-ln(1+x)].
則h′(x)=1−ln(1+x)−x+2x+1=−ln(1+x)−1x+1.
當(dāng)x>0時(shí),顯然h′(x)=−ln(1+x)−1x+1<0,
所以h(x)在(0,+∞)上是減函數(shù).
所以當(dāng)x>0時(shí),h(x)<h(0)=2.
所以,a的取值范圍為[2,+∞).
(3)由(2)知,當(dāng)a=2,x>0時(shí),ln(1+x)+2x+2>1,即ln(1+x)>xx+2(∗).
在(*)式中,令x=1k(k∈N∗),得lnk+1k>1k2+1k,即lnk+1k>12k+1,
依次令k=1,2,3,…n,
得ln21>13,ln32>15,ln43>17,…,lnn+1n>12n+1.
將這n個(gè)式子左右兩邊分別相加,
得ln(n+1)>13+15+17+…+12n+1.
點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值及單調(diào)性,解題過(guò)程中用到了分類討論的思想,分類討論的思想也是高考的一個(gè)重要思想,要注意體會(huì)其在解題中的運(yùn)用,第3問(wèn)難度比較大,是一道綜合題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 對(duì)稱軸方程是x=π3+2kπ(k∈Z) | B. | φ=-π6 | ||
C. | 最小正周期為π | D. | 在區(qū)間(π2,7π6)上單調(diào)遞減 |
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A. | 3 | B. | 6 | C. | 9 | D. | 12 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 雙曲線 | B. | 雙曲線的一支 | C. | 一條射線 | D. | 不存在 |
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A. | 5√3 | B. | 6√2 | C. | 8 | D. | 5√2 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 0 | B. | 1 | C. | 2 | D. | 3 |
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