Processing math: 100%
8.已知函數(shù)fx=ln1+xxgx=x2+2x+ax+2aR
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間及最值;
(2)若對(duì)?x>0,f(x)+g(x)>1恒成立,求a的取值范圍;
(3)求證:13+15+17++12n+1lnn+1nN

分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的最值即可;
(2)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a>(x+2)[1-ln(1+x)],令h(x)=(x+2)[1-ln(1+x)],根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可;
(3)當(dāng)a=2,x>0時(shí),得:ln1+xxx+2,令x=1kkN,得:lnk+1k12k+1,依次令k=1,2,3,…n,累加即可.

解答 解:(1)f(x)的定義域?yàn)?({-1,+∞}),f'(x)=\frac{1}{1+x}-1=-\frac{x}{1+x}.f'(x)>0?-1<x<0;f'(x)<0?x>0$,
所以函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(-1,0),減區(qū)間為(0,+∞),
f(x)max=f(0)=0,無(wú)最小值.
(2)?x0fx+gx1??x0ln1+xx+x2+2x+ax+21
??x0ln1+x+ax+21??x0ax+2[1ln1+x],
令h(x)=(x+2)[1-ln(1+x)].
hx=1ln1+xx+2x+1=ln1+x1x+1
當(dāng)x>0時(shí),顯然hx=ln1+x1x+10,
所以h(x)在(0,+∞)上是減函數(shù).
所以當(dāng)x>0時(shí),h(x)<h(0)=2.
所以,a的取值范圍為[2,+∞).
(3)由(2)知,當(dāng)a=2,x>0時(shí),ln1+x+2x+21,即ln1+xxx+2
在(*)式中,令x=1kkN,得lnk+1k1k2+1k,即lnk+1k12k+1,
依次令k=1,2,3,…n,
ln2113ln3215ln4317lnn+1n12n+1
將這n個(gè)式子左右兩邊分別相加,
lnn+113+15+17++12n+1

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值及單調(diào)性,解題過(guò)程中用到了分類討論的思想,分類討論的思想也是高考的一個(gè)重要思想,要注意體會(huì)其在解題中的運(yùn)用,第3問(wèn)難度比較大,是一道綜合題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

18.關(guān)于x的方程g(x)=t(t∈R)的實(shí)根個(gè)數(shù)記為f(t).若g(x)=lnx,則f(t)=1;若g(x)=\left\{\begin{array}{l}x,x≤0\\-{x^2}+2ax+a,x>0\end{array}(a∈R),存在t使得f(t+2)>f(t)成立,則a的取值范圍是a>1.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

19.函數(shù)f(x)=1+lnx的定義域是[e,+∞).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

16.函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分圖象如圖所示,則關(guān)于f(x)的說(shuō)法正確的是( �。�
A.對(duì)稱軸方程是x=π3+2kπ(k∈Z)B.φ=-π6
C.最小正周期為πD.在區(qū)間(π27π6)上單調(diào)遞減

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

3.已知函數(shù)f(x)=cosωx(ω>0),將y=f(x)的圖象向右平移π3個(gè)單位長(zhǎng)度后,所得的圖象與原圖象重合,則ω的最小值為(  )
A.3B.6C.9D.12

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

13.函數(shù)f(x)=sinxcosx+cos2x的減區(qū)間是[kπ+π8kπ+5π8]kZ

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

20.已知F1(-3,0),F(xiàn)2(3,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|-|PF2|=4,則點(diǎn)P的軌跡是( �。�
A.雙曲線B.雙曲線的一支C.一條射線D.不存在

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

17.如圖,在△ABC中,若AB=5,AC=7,∠B=60°,則BC等于( �。�
A.53B.62C.8D.52

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

10.下列命題不正確的個(gè)數(shù)是(  )
①終邊不同的角的同名三角函數(shù)值不等;
②若sinα>0,則α是第一、二象限;
③若α是第二象限角且P(x,y)是其終邊上一點(diǎn),則cosα=xx2+y2
A.0B.1C.2D.3

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案