Question

已知函數(shù)為奇函數(shù)，其中a為不等于1的常數(shù)；
（1）求a的值；
（2）若對(duì)任意的x∈[-1，1]，f（x）＞m恒成立，求m的范圍．

Answer 1

解：（1）∵為奇函數(shù)
∴f（-x）=-f（x），即
即對(duì)x∈[-1，1]恒成立；
所以（5+ax）（5-ax）=（5+x）（5-x）
∴a=±1，
因?yàn)閍為不等于1的常數(shù)，所以a=-1
（2）∵
設(shè)，則f（t）=log₂t，
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/64423.png' />在[-1，1]上遞減所以，
又因?yàn)閒（t）=log₂t，在上是增函數(shù)，
所以
因?yàn)閷?duì)任意的x∈[-1，1]，f（x）＞m恒成立，所以f（x）_min＞m
所以
分析：（1）利用奇函數(shù)的定義f（-x）=-f（x），代入函數(shù)解析式得恒等式，利用恒等式中x的任意性即可得a的值；
（2）先將不等式f（x）＞m恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）在x∈[-1，1]時(shí)的最小值問(wèn)題，再利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求最值即可
點(diǎn)評(píng)：本題考查了奇函數(shù)的定義及其應(yīng)用，不等式恒成立問(wèn)題的解法，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及其最值的求法，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法