精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

記（1+ $數(shù)學(xué)公式$ ）（1+ $數(shù)學(xué)公式$ ）…（1+ $數(shù)學(xué)公式$ ）的展開(kāi)式中，x的系數(shù)為a_n，x²的系數(shù)為b_n，其中 n∈N^．
（1）求a_n；
（2）是否存在常數(shù)p，q（p＜q），使b_n= $數(shù)學(xué)公式$ （1+ $數(shù)學(xué)公式$ ）（1+ $數(shù)學(xué)公式$ ）對(duì)n∈N，n≥2恒成立？證明你的結(jié)論．

解：（1）根據(jù)多項(xiàng)式乘法運(yùn)算法則，得a_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$ ．…（3分）
（2）計(jì)算得b₂= $\text{[math]}$ ，b₃= $\text{[math]}$ ．
代入b_n= $\text{[math]}$ （1+ $\text{[math]}$ ）（1+ $\text{[math]}$ ），解得p=-2，q=-1． …（6分）
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明b_n= $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ ）（1- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ （n≥2）：
①當(dāng)n=2時(shí)，b₂= $\text{[math]}$ ，結(jié)論成立．
②設(shè)n=k時(shí)成立，即b_k= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，b_k+1=b_k+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ．
由①②可得結(jié)論成立．　　　 …（10分）
分析：（1）根據(jù)多項(xiàng)式乘法運(yùn)算法則，可得a_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ，利用等比數(shù)列的求和公式，可得結(jié)論；
（2）先計(jì)算b₂，b₃的值，代入b_n= $\text{[math]}$ （1+ $\text{[math]}$ ）（1+ $\text{[math]}$ ），解得p=-2，q=-1，再用數(shù)學(xué)歸納法證明．
點(diǎn)評(píng)：本題考查展開(kāi)式的系數(shù)，考查數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：北京期末題 題型：解答題

對(duì)于數(shù)列A：a₁，a₂，…，a_n，若滿足a_i∈{0，1}（i=1，2，3，…，n），則稱數(shù)列A為“0-1數(shù)列”。定義變換T，T將“0-1數(shù)列”A中原有的每個(gè)1都變成0，1，原有的每個(gè)0都變成1，0。例如A：1，0，1，則T（A）：0，1，1，0，0，1，設(shè)A₀是“0-1數(shù)列”，令A(yù)_k=T（A_k-1），k=1，2，3，…。
（1）若數(shù)列A₂：1，0，0，1，0，1，1，0，1，0，0，1，求數(shù)列A₁，A₀；
（2）若數(shù)列A₀共有10項(xiàng)，則數(shù)列A₂中連續(xù)兩項(xiàng)相等的數(shù)對(duì)至少有多少對(duì)？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若A₀為0，1，記數(shù)列A_k中連續(xù)兩項(xiàng)都是0的數(shù)對(duì)個(gè)數(shù)為l_k，k=1，2，3，…，求l_k關(guān)于k的表達(dá)式。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010-2011學(xué)年遼寧省撫順市六校聯(lián)合體高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

某廠去年的產(chǎn)值記為1，計(jì)劃在今后五年內(nèi)每年的產(chǎn)值比上年增長(zhǎng)10%，則從今年起到第五年，這個(gè)廠的總產(chǎn)值為（）
A．1.1⁴
B．1.1⁵
C．10×（1.1⁶-1）
D．11×（1.1⁵-1）

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定義集合A與B的差集A-B={x|x∈A且x∉B}，記“從集合A中任取一個(gè)元素x，x∈A-B”為事件E，“從集合A中任取一個(gè)元素x，x∈A∩B”為事件F；P（E）為事件E發(fā)生的概率，P（F）為事件F發(fā)生的概率，當(dāng)a、b∈Z，且a＜-1，b≥1時(shí)，設(shè)集合A={x∈Z|a＜x＜0}，集合B={x∈Z|-b＜x＜b}．給出以下判斷：
①當(dāng)a=-4，b=2時(shí)P（E）=

，P（F）=

；          ②總有P（E）+P（F）=1成立；
③若P（E）=1，則a=-2，b=1；                 ④P（F）不可能等于1．
其中所有正確判斷的序號(hào)為    ．

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設(shè)A是由m×n個(gè)實(shí)數(shù)組成的m行n列的數(shù)表，滿足：每個(gè)數(shù)的絕對(duì)值不大于1，且所有數(shù)的和為零，記s(m，n)為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合。

對(duì)于A∈S(m,n),記r_i(A)為A的第ⅰ行各數(shù)之和（1≤ⅰ≤m），C_j(A)為A的第j列各數(shù)之和（1≤j≤n）：

記K(A)為∣r₁(A)∣,∣R₂(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C₁(A)∣,∣C₂(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。

（1）對(duì)如下數(shù)表A，求K（A）的值；

1	1	-0.8
0.1	-0.3	-1

（2）設(shè)數(shù)表A∈S（2,3）形如

1	1	c
a	b	-1

求K（A）的最大值；

（3）給定正整數(shù)t，對(duì)于所有的A∈S（2,2t+1），求K（A）的最大值。

【解析】（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912442510881234/SYS201207091244551401982556_ST.files/image001.png">，

所以

（2）不妨設(shè).由題意得.又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912442510881234/SYS201207091244551401982556_ST.files/image006.png">，所以，